মাধ্যমিক গণিত- পিথাগোরাসের উপপাদ্য 

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য

১. উপপাদ্য-32: ব্যাস নয় এরূপ কোনো জ্যা –এর উপর বৃত্তের কেন্দ্র থেকে লম্ব অঙ্কন করা হলে , ওই লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখন্ডিত করবে ।

২. উপপাদ্য -33: প্রমাণ করো যে ব্যাস নয় এরূপ কোনো জ্যা –কে যদি বৃত্তের কেন্দ্রবিন্দুগামী কোনো সরলরেখা সমদ্বিখন্ডিত করে , তাহলে ওই সরলরেখা ওই জ্যা –এর উপর লম্ব হবে ।

৩. আমি যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে , কোনো বৃত্তের দুটি সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদুরবর্তী ।

৪. প্রমাণ করি , একটি বৃত্তে দুটি জ্যা –এর মধ্যে যে জ্যাটি কেন্দ্রের নিকটবর্তী সেটির দৈর্ঘ্য অপর জ্যা-এর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর ।

৫. প্রমাণ করো যে ব্যাস-ই বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা ।

৬. একটি বৃত্তে AB ও AC দুটি সমান জ্যা । প্রমাণ করি ∠BAC –এর সমদ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী ।

৭. একটি বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুটি সমান । প্রমাণ করি যে , ∠BAC –এর সমদ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী ।

৮. দুটি বৃত্তের কেন্দ্র P এবং Q; বৃত্ত দুটি A এবং B বিন্দুতে ছেদ করে । A বিন্দু দিয়ে PQ –এর সমান্তরাল সরলরেখাংশের সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করি যে , CD = 2PQ

 

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য ও প্রয়োগ

১. উপপাদ্য 34: কোনো বৃত্তের একটি বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ ওই চাপের দ্বারা গঠিত যে-কোনো বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ ।[ খুব গুরুত্বপূর্ণ ]

২.উপপাদ্য 35: একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মান সমান ।

৩. উপপাদ্য 36: অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ ।

৪.ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB = DC হলে প্রমাণ করি যে AC = BD হবে ।

৫. প্রমাণ করি অর্ধবৃত্তাংশস্থ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বৃত্তাংস্থ কোণ স্থূলকোণ ।

৬. প্রমাণ করি যে একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি সমকৌণিক বিন্দু দিয়ে যাবে ।  

৭. প্রমাণ করি যে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুটির যে –কোনোটিকে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্ত অসমান বাহুটিকে সমদ্বিখন্ডিত করে ।

৮. ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র S এবং AD লম্ব BC হলে প্রমাণ করি যে BAD = SAC

৯. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমাণ করি যে , ∠AOD + ∠BOC = 2 ∠BPC

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত প্রয়োগ

১. প্রমাণ করি যে , আয়তক্ষেত্র নয় এমন বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম ।

২. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AP , AQ দুটি জ্যা –এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R ও S ; প্রমাণ করি , O,R,A,S বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ ।

৩. ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের BC বাহুকে E বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হল । প্রমাণ করি যে ,  ∠BAD ও ∠DCE –এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় বৃত্তের উপর মিলিত হবে । 

বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য ও তার প্রয়োগ

১. উপপাদ্য 41: বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়  তাদের স্পর্শবিন্দু দুটির সঙ্গে বহিঃস্থ বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ দুটির দৈর্ঘ্য সমান এবং তারা কেন্দ্র সমান কোণ উৎপন্ন করে । [ খুব গুরুত্বপূর্ণ ]

২. উপপাদ্য 42: যদি দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করে , আথলে স্পর্শবিন্দুটি কেন্দ্র দুটির সংযোজক সরলরেখাংশের উপর অবস্থিত হবে ।

৩. প্রমাণ করো যে –কোনো বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু দুটিতে অঙ্কিত স্পর্শকদুটি পরস্পর সমান্তরাল ।

৪.দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের বৃহত্তরটির AB ও AC জ্যা দুটি অপর বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করলে , প্রমাণ করি যে , PQ = ½ BC

৫. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস । AB ব্যাসের A ও B বিন্দুতে বৃত্তের দুটি স্পর্শক অঙ্কন করেছি যা বৃত্তটির অপর একটি বিন্দু T-তে অঙ্কিত স্পর্শককে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে ∠POQ = 90᳸

৬. প্রমাণ করি যে বৃত্তে পরিলিখিত সামান্তরিক মাত্রই রম্বস ।

৭. ABC –এর অন্তর্বৃত্ত AB, BC ও CA বাহুকে যথাক্রমে D , E ও F বিন্দুতে স্পর্শ করেছে । প্রমাণ করি যে , AD+BE+CF = AF +CE +BD = ABC ত্রিভুজের পরিসীমার অর্ধেক ।

৮. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে বৃত্তে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক বৃত্তটিকে যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে স্পর্শ করে । প্রমাণ করি যে , AO , BC –এর লম্ব সমদ্বিখডক ।

সদৃশতা ও তার প্রয়োগ

১. উপপাদ্য 48: যে-কোনো সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে , এই লম্বের উভয় পার্শস্থিত ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ এবং ওই ত্রিভুজগুলি প্রত্যেকে মূল ত্রিভুজের সঙ্গে সদৃশ ।[ খুব গুরুত্বপূর্ণ ]

২. একটি বৃত্তের ব্যাস AB এবং কেন্দ্র O ; বৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দু P থেকে AB ব্যাসের উপর একটি লম্বপ অঙ্কন করলাম যা AB কে N বিন্দুতে ছেদ করল । প্রমাণ করি যে , PB² = AB.BN

৩. △ABC –এর ABC = 90᳸ এবং BD⊥AC ; যদি AB= 6 সেমি. এবং BD = 3 সেমি. এবং CD = 5.4 সেমি. হয় , তবে BC বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি ।

৪. ABC সমকোণী ত্রিভুজের B সমকোণ এবং BD ⊥ AC ; যদি AD = 4 সেমি. এবং CD = 16 সেমি. হয় , তবে BD ও AB –এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি ।  

৫. ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB ও DC বাহুকে বর্ধিত করা হলে P বিন্দুতে মিলিত হয় । প্রমাণ করো যে , PA.PB = PC.PD

৬. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর উপর AD লম্ব  যা BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে  এবং AD² =BD.CD হলে ,প্রমাণ করো যে , BAC সমকোণ ।

 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য ও প্রয়োগ

১. উপপাদ্য 49 ( পিথাগোরাসের উপপাদ্য): যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান ।[ খুব গুরুত্বপূর্ণ ]

২. উপপাদ্য 50 (পিথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য): যেকোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে প্রথম বাহুর বিপরীত কোনটি সমকোণ হবে । [ খুব গুরুত্বপূর্ণ ]

৩. কোনো রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 সেমি. ও 16 সেমি. হলে , রম্বসের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি ।

৪. ABCD একটি আয়তকার চিত্র অঙ্কন করেছি । O আয়তকার চিত্রের অভ্যন্তরে একটি বিন্দু হলে , প্রমাণ করি যে , OA² +OC² =OB² +OD²

৫. △ABC –এর AD⊥BC হলে , প্রমাণ করি যে , AB² +CD² = AC²+BD²

৬.  ABC ত্রিভুজের A সমকোণ । CD মধ্যমা হলে , প্রমাণ করি যে , BC² =CD² +3AD²

৭. ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ । AD , BC বাহুর ওপর লম্ব হলে , প্রমাণ করি যে AB² +BC² +CA² = 4AD²

৮. প্রমাণ করো কোনো রম্বসের বাহুগুলির ওপর অঙ্কিত বর্গের সমষ্টি কর্ণ দুটির উপর অঙ্কিত বর্গদুটির সমষ্টির সমান ।

৯. প্রমাণ করি যে –কোনো বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ওই বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ ।