মাধ্যমিক গণিত- বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত সমস্যা 

সঠিক উত্তর নির্বাচনধর্মী প্রশ্ন (MCQ): (প্রশ্নমান-১)

১. সমান দৈর্ঘ্যের ব্যাস এবং সমান উচ্চতাবিশিষ্ট নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ , নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত –

• 1:3:4
• 4:3:1
• 3:1:4 (উত্তর)
• 1:4:3

২. r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট অর্ধগোলক থেকে সর্বাধিক কত আয়তনের নিরেট শঙ্কু কেটে নেওয়া যাবে ?

• 4πr³ ঘনএকক
• 3πr³ ঘনএকক
• Πr³/4 ঘনএকক
• Πr³/3 ঘনএকক (উত্তর)

 

৩. একটি গোলকের ঘনফল 4/3 π³ ঘনএকক । গোলকটি একটি ঘনকে অন্তর্লিখিত হলে , ঘনক ও গোলকটির আয়তনের অনুপাত হবে –

• 3 : π
• 4 : π
• 6 : π (উত্তর)
• 8 : π

৪. r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে r একক উচ্চতার একটি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা হল । শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা –

• 2r একক
• √3 r একক
• √5 r একক (উত্তর)
• 5r একক

৫. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা 2r একক । চোঙটির মধ্যে সর্ববৃহৎ যে গোলকটি রাখা যাবে তাঁর ব্যসের দৈর্ঘ্য –

• r একক
• 2r একক (উত্তর)
• r/2 একক
• 4r একক

৬. r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে r একক উচ্চতার একটি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা হল । শঙ্কুটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য –

• 2r একক (উত্তর)
• 3r একক
• r একক
• 4r একক
• 

সত্য অথবা মিথ্যাঃ (প্রশ্নমান-১)

১. সমান আয়তন বিশিষ্ট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু ও অর্ধগোলকের ভূমি সমান হলে তাদের উচ্চতার অনুপাত হবে – 2:1

উত্তরঃ সত্য

২. r সেমি. ব্যাসার্ধের একটি লোহার নিরেট গোলককে গলিয়ে R সেমি. ব্যাসার্ধের একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি নিরেট রড তৈরি করা হলে , রডটির দৈর্ঘ্য হবে 4r³ /3r সেমি.

উত্তরঃ মিথ্যা ।

৩. একটি নিরেট অর্ধগোলক ও একটি নিরেট শঙ্কু ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য সমান ও উচ্চতা সমান হলে , তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1 : √2 ।

উত্তরঃ মিথ্যা ।

৪. 3 সেমি. ব্যাসার্ধের একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙকে গলিয়ে সমব্যাসার্ধের একটি গোলক তৈরি করা হলে চোঙের উচ্চতা হবে 3 সেমি.

উত্তরঃ মিথ্যা ।

৫. একই ভূমি ও একই উচ্চতা বিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু ও একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তনের অনুপাত 1:3 হবে ।

উত্তরঃ সত্য ।

শূন্যস্থান পূরণঃ (প্রশ্নমান-১)

১. একমুখ কাটা একটি পেনসিলের আকার হল চোঙ ও ________________ -এর সমন্বয় ।

উত্তরঃ আয়তন

২. সমান ভূমি ও সমান উচ্চতা বিশিষ্ট শঙ্কু , অর্ধগোলক ও চোঙের আয়তনের অনুপাত ______________ ।

উত্তরঃ 1:2:3

৩. R ব্যাসার্ধের একটি শঙ্কুর উচ্চতা r হলে , এইরূপ চারটি শঙ্কুর মোট আয়তন 1 টি ___________ ব্যাসার্ধের গোলকের আয়তনের সমান ।

উত্তরঃ r\

৪. একটি গোলক ও একটি বেলনের ব্যাসার্ধ  সমান । তাদের ঘনফল সমান হলে বেলনের ব্যাসার্ধ ও উচ্চতার অনুপাত হবে ________________ ।

উত্তরঃ 3 : 4

৫. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা 2r একক । চোঙটির মধ্যে সর্ববৃহৎ গোলকটি রাখা যাবে তাঁর ব্যাসের দৈর্ঘ্য ___________ একক ।

উত্তরঃ 2r একক

সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন(SAQ): (প্রশ্নমান-2)

১. একটি শঙ্কু ও একটি চোঙের ব্যাসার্ধ সমান কিন্তু শঙ্কুর উচ্চতা চোঙের ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ । শঙ্কু ও চোঙের আয়তনের অনুপাত কত ?

উত্তরঃ 2:3

২. 16 সেমি. ব্যাসের আংশিক জলপূর্ণ একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভিতর 6 সেমি. ব্যাসের কটি গোলক ফেললে জলতল 9 সেমি. উপরে উঠে আসবে ?

৩. একই দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি চোঙ ও একটি গোলকের ঘনফল  সমান হলে , চোঙের ব্যাসের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত নির্ণয় করো ।

উত্তরঃ 3 : 2

৪. একটি ঘনবস্তুর নীচের অংশ অর্ধগোলক আকারের এবং উপরের অংশ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারের । যদি দুটি অংশের তলের ক্ষেত্রফল সমান হয় , তাহলে ব্যসার্ধের এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত হিসাব করে লিখি ।

উত্তরঃ 1 : √3

৫. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু , ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দোইর্ঘ্য একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান । গোলকের আয়তন শঙ্কুর আয়তনের দ্বিগুন হলে , শঙ্কুর উচ্চতা এবং ভূমিতিওলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি ?

উত্তরঃ 2 : 1

৬. 28 সেমি. প্রান্তবিশিষ্ট একটি ঘনক থেকে সর্ববৃহৎ যে লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুটি পাওয়া যায় তার আয়তন কত ?

উত্তরঃ 5749 1/9 ঘনসেমি.

৭. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো । উভয়ের ব্যসার্ধের দোইর্ঘ্য সমান । যদি শঙ্কুর উচ্চতা 15 সেমি. হয় , তাহলে নিরেট চোঙের উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি ।

উত্তরঃ 5 সেমি.

দীর্ঘ উত্তরধর্মী প্রশ্নঃ (প্রশ্নমান-4)

১. 12 সেমি. ব্যাসবিশিষ্ট চোঙাকৃতি পাত্র আংশিক জলপূর্ণ আছে । একটি কঠিন গোলাকৃতি বল ওই পাত্রে ডোবানোয়ে জলস্তর 1 সেমি. উঠলে বলের ব্যাস কত ?

উত্তরঃ 6 সেমি.

২.  20 সেমি. উচ্চতার একটি ফাঁপা চোঙের বহির্ব্যাসার্ধ ও অন্তর্ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 5 সেমি. ও 4 সেমি. । চোংটিকে গলিয়ে একটি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা হল যার উচ্চতা চোঙটির উচ্চতার 1/3 অংশ । নিরেট শঙ্কুর ভূমির ব্যাস কত ?

উত্তরঃ 18 সেমি.

৩. 21 ডেসিমি. দীর্ঘ , 11 ডেসিমি প্রশস্ত ও 6 ডেসিমি. গভীর একটি চৌবাচ্চার অর্ধেক জলপূর্ণ আছে । ওই চৌবাচ্চায় যদি 21 সেমি. ব্যাস এবং 20 সেমি. উচ্চতার 100 টি নিরেট লোহার চোঙ সম্পূর্ণ ডুবিয়ে দেওয়া হয় , তাহলে জলতল কতটা উপরে উঠবে ?

উত্তরঃ 3 ডেসিমি.

৪. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের ভূমির ভূমির ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.2 ডেসিমি. । ডন্ডটিকে গলিয়ে 21 টি নিরেট গোলক তৈরি করা হল । যদি প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 8 সেমি. হয় তাহলে দন্ডটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো ।

উত্তরঃ 14 সেমি.

৫. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাস 16 সেমি. এবং দৈর্ঘ্য 1 মিটার । এই দন্ডটি গলিয়ে 8 সেমি. উচ্চতা ও 5 সেমি. ব্যাসার্ধেরবৃত্তাকার ভূমিতল বিশিষ্ট কতগুলি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করা যাবে ?

উত্তরঃ 96 টি

৬. 12√2 দৈর্ঘ্যের ব্যাস বিশিষ্ট এবং 21 মিটার লম্বা একটি বৃত্তাকার কাঠের গুঁড়ি থেকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে বর্গাকার প্রস্থচ্ছেদ বিশিষ্ট এবং আয়তঘনাকার কাঠের লগ তৈরি করলে তাতে কত পরিমাণ কাঠ থাকবে এবং কত পরিমাণ কাঠ নষ্ট হবে হিসাব করি ।

উত্তরঃ 302.4 ঘন ডেসিমি. , 172.8 ঘন ডেসিমি.

৭. 13 মিটার দীর্ঘ এবং 11 মিটার প্রশস্ত একটি ছাদের জল বের হওয়ায় নলটি বৃষ্টির সময় বন্ধ ছিল । বৃষ্টির পর দেখা গেল ছাদে 7 সেমি. গভীর জল দাঁড়িয়ে গেছে । যে নলটি দিয়ে জল বের হয় তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য 7 সেমি. এবং চোঙাকারে মিনিটে 200 মিটার দৈর্ঘ্যের জল বের হয় । নলটি খুলে দিলে কতক্ষণে সব জল বেরিয়ে যাবে হিসাব করি ।

উত্তরঃ 13 মিনিট

৮. একটি নিরেট অর্ধগোলক ও একটি নিরেট শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য সমান ও উচ্চতা সমান হলে তাদের আয়তনের অনুপাত এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত ?

উত্তরঃ 2:1 , √2 : 1

৯. 28 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাস বিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙে কিছু জল আছে এবিং তাতে সমান ব্যাসের তিনটি নিরেট লোহার গোলক সম্পূর্ণ দোবানো যায় । গোলকগুলি ডোবানোর আগে জলতলের যে উচ্চতা ছিল গোলকগুলি ডোবানোর পরে জলতলের উচ্চতা তার থেকে 7 সেমি. বৃদ্ধি পায় । গোলকগুলির ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত ?

উত্তরঃ 14 সেমি.

১০. রূপার পাত দিয়ে তৈরি একটি অর্ধগোলাকার বাটির মুখের বাইরের দিকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 8 সেমি. এবং ভিতরের দিকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 4 সেমি. । বাটিটিকে গলিয়ে 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা হল । শঙ্কুটির উচ্চতা কত হবে হিসাব করে লিখি ।

উত্তরঃ