SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|

সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী ( প্রতিটি প্রশ্নের মান 2 )

উদাহরণ সহ সংজ্ঞা দাওঃ

(i) সেট

(ii) সসীম বা অসীম সেট

(iii) শূন্য সেট

(iv) সার্বিক সেট

(v) একপদী সেট

(vi) সমান সেট

(vii) উপসেট ও যথার্থ উপসেট

(viii) দুটি সেটের যোগ

সমাধানঃ

(i) সেট – বস্তু সমূহের সংকলন বা সমষ্টিকে সেট আখ্যা দেওয়া হয় যখন

(a) সংকলনটি সুসংজ্ঞাত (well defined )

(b) সংকলনের অন্তর্গত যেকোনো দুটি বস্তু পরস্পর ভিন্ন (different)।

(ii) সসীম সেট – যে সেটের পদ সমূহের সংখ্যা গননার দ্বারা নির্ণয় করা সম্ভব অর্থাৎ যে সেটের পদসংখ্যা সসীম তাকে সসীম সেট বলে ।

যেমন x= {1,2,3,4}

অসীম সেট – যে সেটের পদ সমূহের সংখ্যা গননার দ্বারা নির্ণয় করা সম্ভব নয় অর্থাৎ যে সেটের পদ সংখ্যা অসীম তাকে অসীম সেট বলে ।

যেমনঃ Y = {1,2,3,4,5,6,7,…………..}

(iii) শূন্য সেট – নির্দিষ্ট নিয়ম বা ধরমের ওপর ভিত্তি করে সংজ্ঞাত কোনও সেটের যদি কোনও পদ না থাকে তাকে শূন্য সেট বলে ।

যেমন – A={ x: x একটি অখণ্ড সংখ্যা এবং 2<x<3}

(iv) সার্বিক সেট – সেট সম্পর্কিত আলোচনায় কোনও বিসেশ সংজ্ঞাধীনে আলচ্য সেট সমূহ একটি নির্দিষ্ট বৃহত্তর সেটের উপসেট হিসাবে ধরা হয় । এই নির্দিষ্ট বৃহত্তর সেটটিকে আলোচ্য সেটগুলির সাপেক্ষে সার্বিক সেট বলে । এই সার্বিক সেট কে S বা U অক্ষর দ্বারা সূচিত করা হয় ।

ধরাযাক সেট A = {0,1,2,3,4}

এবং সেট B হল = { 1,3,5,7}

A ও B সাপেক্ষে U = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8} সেট টি হল সার্বিক সেট কারণ উভয় ক্ষেত্রে দুটি সেট A এবং B , U এর সাবসেট ।

(v) একপদী সেট – যে সেটে একটি মাত্র পদ থাকে তাকে একপদী সেট বলে ।

যেমন A = {4}

(vi) সমান সেট – দুটি সেট A ও B এমন হয় যে A সেটের প্রত্যেক পদ B সেটের প্রত্যেক পদ A সেটেরও পদ এবং A সেটের প্রত্যেক পদ B সেটেরও পদ হয় তখন A ও B দুটি সেটকে সমান সেট বলে ।

যেমনঃ x= { -2,-1} এবং Y = {a : a হল a²+3a+2 সমীকরণের বীজ }

(vii) উপসেট – দুটি সেট A ও B এমন হয় যে B সেটের প্রত্যেক পদ A সেটেরও পদ হয় তখন B সেটকে A সেটের উপসেট বলে । একে B ⊆ A আকারে প্রকাশ করা হয় ।

যেমনঃ A ={1,2,3,4,5,6} এবং B= {1,3,5} ∴ B ⊆ A

যথার্থ উপসেটঃ A ও B দুটি সেট এমন হয় যে , B সেটের প্রত্যেকটি পদ A সেটেরও পদ হয় এবং A সেটে কমপক্ষে একটি পদ এমন থাকে যে পদটি B সেটের অন্তর্গত নয় তখন B সেটকে A সেটের যথার্থ উপসেট বলে ।

∴ এক্ষেত্রে B ⊂ A

(viii) দুটি সেটের যোগ – দুটি সেট A ও B , এখন একটি সেট এমন ভাবে গঠিত হয় যে , সেই সেটটির পদ A এর পদ , B এর পদ বা A ও B উভয় সেটেরই পদ হবে । দুটি সেটের যোগ কে A U B দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।

যেমনঃ A = {2,4,6,8,10 } এবং B = { 1,2,3,4,5,6}

A ∪ B = {2,4,6,8,10 } ∪ { 1,2,3,4,5,6} = {1,2,3,4,5,6,8,10}

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

পার্থক্য নিরূপণ করঃ

(i) শূন্য সেট ও সার্বিক সেট

(ii) উপসেট ও প্রকৃত উপসেট

(iii) দুটি সেটের যোগ ও ছেদ

(iv) দুটি সেটের যোগ ও অন্তর

(v) সার্বিক সেট ও পূরক সেট

সমাধানঃ

শূন্য সেট ও সার্বিক সেট – নির্দিষ্ট নিয়ম বা ধর্মের ওপর ভিত্তি করে সংজ্ঞাত কোনও সেটের যদি কোনও পদ নাথাকে তাকে শূন্য সেট বলে ।

যেমন – A={ x: x একটি অখণ্ড সংখ্যা এবং 2<x<3}

সেট সম্পর্কিত আলোচনায় কোনও বিসেশ সংজ্ঞাধীনে আলচ্য সেট সমূহ একটি নির্দিষ্ট বৃহত্তর সেটের উপসেট হিসাবে ধরা হয় । এই নির্দিষ্ট বৃহত্তর সেটটিকে আলোচ্য সেটগুলির সাপেক্ষে সার্বিক সেট বলে । এই সার্বিক সেট কে S বা U অক্ষর দ্বারা সূচিত করা হয় ।

ধরাযাক সেট A = {0,1,2,3,4}

এবং সেট B হল = { 1,3,5,7}

অর্থাৎ শূন্য সেট এ একটিও পদ না থাকলেও সার্বিক সেট এ কমপক্ষে একটি পদ থাকতে হবে , আবার শূন্য সেট যেকোনো সেটের সাবসেট হতে পারে কিন্তু সার্বিক সেট যেকোনো সেটের সাবসেট হতে পারে না ।শূন্য সেট কে Φ দ্বারা নির্দেশ করা হয় এবং সার্বিক সেট কে U দ্বারা নির্দেশ করা হয় ।

(ii) উপসেট এবং প্রকৃত উপসেট

উপসেট – দুটি সেট A ও B এমন হয় যে B সেটের প্রত্যেক পদ A সেটেরও পদ হয় তখন B সেটকে A সেটের উপসেট বলে । একে B ⊆ A আকারে প্রকাশ করা হয় ।এক্ষেত্রে A সেট এবং B সেট সমান হতেও পারে ।

প্রকৃত উপসেট-A ও B দুটি সেট এমন হয় যে , B সেটের প্রত্যেকটি পদ A সেটেরও পদ হয় এবং A সেটে কমপক্ষে একটি পদ এমন থাকে যে পদটি B সেটের অন্তর্গত নয় তখন B সেটকে A সেটের প্রকৃত উপসেট বলে । এক্ষেত্রে B ⊂ A আকারে প্রকাশ করা হয় । এক্ষেত্রে A সেট এবং B সেট কখনই সমান হয় না ।

(iii) দুটি সেটের যোগ ও ছেদ– দুটি সেটের যোগ – দুটি সেট A ও B , এখন একটি সেট এমন ভাবে গঠিত হয় যে , সেই সেটটির পদ A এর পদ , B এর পদ বা A ও B উভয় সেটেরই পদ হবে । দুটি সেটের যোগ কে A ∪ B দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।

অপরপক্ষে দুটি প্রদত্ত সেট A ও B এর সাধারণ পদসমূহ নিয়ে গঠিত সেটকে A ও B সেটের ছেদ বলে এবং এটি A ∩ B দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।

A ∪ U = U হয় কিন্তু A ∩ U = A হয় ।

A ⊆ A ∪ B কিন্তু A ∩ B ⊆ A হয় ।

A ∪ Φ = A হয় কিন্তু A ∩ Φ = Φ হয় ।

(iv) দুটি সেটের যোগ ও অন্তর– দুটি সেট A ও B , এখন একটি সেট এমন ভাবে গঠিত হয় যে , সেই সেটটির পদ A এর পদ , B এর পদ বা A ও B উভয় সেটেরই পদ হবে । দুটি সেটের যোগ কে A ∪ B দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।

যদি A ও B দুটি প্রদত্ত সেট হয় এবং একটি সেট এরূপে গঠিত হয় যে সেটির পদসমূহ A সেটের পদ কিন্তু B সেটের পদ নয় তখন গঠিত সেটটিকে A ও B সেটের অন্তর বলে , একে A-B দ্বারা নির্দেশ করা হয় ।

A ⊆ A ∪ B কিন্তু A – B ⊆ A

B ⊆ A ∪ B কিন্তু A – B ⊆ B

আবার A – B = (A ∪ B)-B

(v) সার্বিক সেট ও পূরক সেট – সেট সম্পর্কিত আলোচনায় কোনও বিসেশ সংজ্ঞাধীনে আলচ্য সেট সমূহ একটি নির্দিষ্ট বৃহত্তর সেটের উপসেট হিসাবে ধরা হয় । এই নির্দিষ্ট বৃহত্তর সেটটিকে আলোচ্য সেটগুলির সাপেক্ষে সার্বিক সেট বলে । এই সার্বিক সেট কে S বা U অক্ষর দ্বারা সূচিত করা হয়

যদি কোনও একটি সুসংজ্ঞাত সেট A এর সার্বিক সেট U হয় এবং একটি সেট এমনভাবে গঠিত হয় যে সেটির পদসমূহ U এর পদ কিন্তু A এর পদ নয় , তবে গঠিত সেটটিকে A সেটের পূরক সেট বলে । একে A^c দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।

∴ A^c= U –A কিন্তু U^c = Φ

SN Dey Maths Class 11 Set Theory|SN Dey Math Solution Of Set Theory Of Class 11|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

প্রমান করো যে প্রত্যেক সেট তার নিজের উপসেট ।

প্রমানঃ যদি A একটি প্রদত্ত সেট হয় তবে প্রমান করতে হবে যে A ⊆ A । যদি সম্ভব হয় মনে করো A ⊈ A । সুতরাং A সেটে কমপক্ষে একটি পদ আছে , যা A সেটের পদ নয়- যা অসম্ভব । ∴ A ⊆ A ( প্রমানিত )

দেখাও যে শূন্য সেট সব সেটের উপসেট ।

প্রমানঃ যদি A যেকোনো একটি প্রদত্ত সেট হয় , তবে প্রমান করতে হবে যে , Φ ⊆ A এখানে Φ হল শূন্য সেট । যদি সম্ভব হয় মনে করো Φ ⊈ A ।

স্পষ্টতই Φ , A সেটের উপসেট নয় বলে Φ সেটে কমপক্ষে একটি পদ আছে যেটি A সেটের পদ নয় ; কিন্তু সংজ্ঞা অনুযায়ী Φ সেটে কোনও পদ থাকেনা , সুতরাং Φ ⊈ A এই কল্পনা সত্য হতে পারেনা ।

∴ Φ ⊆ A (প্রমানিত )

সংক্ষিপ্ত টীকা লেখোঃ

(i) সূচক সেট (ii) ভেন চিত্র (iii) দ্বিত নীতি

(i) সূচক সেট – যে সেটের পদসমূহ একটি প্রদত্ত সেট A সেটের উপসেট , তাকে প্রদত্ত সেটের সূচক সেট বলে এবং একে P(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয় । P(A) = { X : X ⊆ A }

যদি A = {a ,b,c } হয় তবে A সেটের উপসেট সমূহ হয় –

(i) শূন্য সেট Φ ।

(ii) {a}, {b},{c}

(iii) {a,b}, {b,c}, {c,a}

(iv) {a ,b,c}=A

∴ P(A) = { Φ , {a}, {b},{c},{a,b}, {b,c}, {c,a},{a ,b,c} }

A সেটের পদসংখ্যা n হলে P(A) সেটের পদ সংখ্যা হবে 2 ⁿ।

(ii) ভেন চিত্র – যে চিত্রের সাহায্যে সেট প্রক্রিয়াসমূহ উপস্থাপিত করা হয় ,তাকে ভেন চিত্র বলে ।

এই প্রকার চিত্রের সাহায্যে সেট প্রক্রিয়া সমূহ এবং সেট সংক্রান্ত প্রশ্নাবলী খুব সহজেই বোঝা যায় ।

সাধারণত , একটি আয়তক্ষেত্রের বিন্দুসমূহ দ্বারা সার্বিক সেটের পদসমূহ সূচিত করা হয় এবং সার্বিক সেটের উপসেটকে ঐ আয়তক্ষেত্রের অন্তর্গত একটি বৃত্ত দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।

(iii) দ্বিত নীতি – সেট সমূহের যোগ ( ∪ ) ও ছেদ ( ∩ ) প্রক্রিয়া দুটি দ্বিত নীতি মেনে চলে । এই নীতি অনুযায়ী যদি যোগ ও ছেদ প্রক্রিয়া দুটির কোনও একটি সম্পর্ক অভেদ হয় , তবে যোগের জায়গায় ছেদ ও ছেদের জায়গায় যোগ লিখে প্রাপ্ত দ্বৈত সম্পর্কটিও অভেদ হবে ।

উদাহরণস্বরূপঃ A ∪ ( B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C ) অভেদের দ্বৈত অভেদ হয় , A ∩ (B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ (A ∩ C )

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

6.যদি A= { a,b,c} হয় , তবে

(i) A এর উপসেট সমূহ এবং (ii) A এর যথার্থ উপসেট সমূহ লেখো ।

সমাধানঃ

(i)A এর উপসেট সমূহ Φ , {a},{b},{c}, {a,b},{b,c},{c,a},{a,b,c}

(ii) A এর যথার্থ উপসেট সমূহ Φ , {a},{b},{c}, {a,b},{b,c},{c,a}

একটি সূচক সেটের সংজ্ঞা দাও । A = {{1},{2,3}} সেটের সূচক সেটটি লেখো ।

সমাধানঃ

A সেটের সূচক সেট P(A) = {Φ , {{1}}, {{2,3}}, A }

A ={1,2,3,4} , B = {2,4,5,8} ,C = {3,4,5,6,7} হলে (i) A U B (ii) B ∩ C

(iii) AU (BUC) (iv) AU (B ∩ C) নির্ণয় করো

সমাধানঃ

(i) AUB = {1,2,3,4,5,8}

(ii) B ∩ C = {4,5}

(iii) AU (BUC) = {1,2,3,4,5,6,7,8}

(iv) B ∩ C = {4,5}

∴ A U (B ∩ C) = {1,2,3,4,5 }

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

P = {a,b,c,d,e} এবং Q = {a ,e,i,o,u}হলে প্রমান করো যে (i) P ⊆ PUQ (ii) P ∩ Q ⊆ P

সমাধানঃ

(i) P U Q = {a,b,c,d,e,i,o,u}

∴ P ⊆ PUQ

(ii) P ∩ Q = {a,e}

∴ P ∩ Q ⊆ P

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

A ⊆ B এবং B ⊆ C হলেপ্রমানকরোযে A ⊆ C .

প্রমানঃ

ধরাযাক x ∈ A , x হল যেকোনো পদ ।

এখন x ∈ A ⇒ x ∈ B [ as A ⊆ B ]——-(i)

X ∈ B ⇒ x ∈ C [ as B ⊆ C ]——(ii)

(i) ও (ii) থেকে বলতে পারি A ⊆ C

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

A U B = B হলে দেখাওযে A ⊆ B ।

ধরাযাক , x ∈ A যে কোনও পদ ।

এখন x ∈ A ⇒ x ∈ (A ∪ B) ⇒ x ∈ B [ ∵ A ∪ B = B ]

x ∈ A ⇒ x ∈ B

∴ A ⊆ B

SN Dey Maths Class 11 Set Theory

A ⊆ B হলে দেখাও যে A –B = Φ

যেহেতু A ⊆ B ∴ x ∈ A ⇒ x ∈ B ,

সুতরাং A সেটে এমন কোনও পদ থাকবেনা যেটি B সেটে নেই ।

অর্থাৎ A –B = Φ

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

যেকোনো দুটি সেট A ও B এর ক্ষেত্রে , A∪B = A ∩ B হলে প্রমান করো যে A = B ।

সমাধানঃ

ধরি , x ∈ A , x যেকোনো একটি পদ ।

⇒ x ∈ A ∪ B

⇒ x ∊ A ∩ B [ As A ∪ B = A ∩ B ]

⇒ x ∈ A and x ∈ B

∴ A ⊆ B —— (i)

ধরি ,y ∈ B

∴ y ∈ A ∪ B

⇒ y ∈ A ∩ B

⇒ y ∈ A

∴ B ⊆ A —– (ii)

(i) ও (ii) থেকে বলতে পারি A = B

(i) সেট প্রক্রিয়ার সাহায্যে প্রমান করো যে 3+4=7

সমাধানঃ

ধরাযাক A = {a,b,c} এবং B = { w,x,y,z}

স্পষ্টতই n(A) = 3 এবং n(B) = 4

আবার, A ∩ B = Φ

( A ∪ B ) = {a,b,c,w,x,y,z }

∴ n ( A ∪ B ) = 7

বা , n(A) +n(B) = 7 [ as n(A ∩ B ) = 0 ]

∴ 3 +4 = 7 ( প্রমানিত )

SN Dey Maths Class 11 Set Theory

14(ii) রসটার পদ্ধতিতে প্রকাশ করঃ

সমাধানঃ

A = {(x,y) : (x,y) হল y=x সরলরেখা এবং y = e^xবক্রের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক }

যেহেতু y = x এবং y = e ^x সমীকরণ দ্বয়ের কোনও সাধারণ সমাধান নেই সুতরাং A = Φ ।

সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী ( প্রতিটি প্রশ্নের মান – 4 )

সংক্ষিপ্ত টীকা লেখোঃ

(i) সেট সমূহের ধারনা , উপসেট ,দুটি সেটের সমতা, সার্বিক সেট এবং শূন্য সেট , সসীম ও অসীম সেট ।

অনুচ্ছেদ 1.3 এবং 1.5 দেখো ।

(ii) দুটি সেটের যোগ ছেদ ও অন্তর ।

অনুচ্ছেদ 1.8 দেখো ।

(iii) সার্বিক সেট ও উপসেট

অনুচ্ছেদ 1.5 দেখো ।

(iv) তিনটি সেট প্রক্রিয়া ( যোগ , ছেদ এবং পূরকতা )

অনুচ্ছেদ 1.8 দেখো ।

ভেন চিত্র কি ? সেট তত্বের সাহায্যে এর গুরুত্ব ব্যাখ্যা করো ।

অনুচ্ছেদ 1.7 দেখো ।

সেটের বীজগাণিতিক সূত্রসমূহ বিবৃত করো ।

অনুচ্ছেদ 1.9 দেখো ।

দেখাও যে n সংখ্যক পদ বিশিষ্ট কোনও সসীম সেট A এর সূচক সেট 2ⁿপদ বিশিষ্ট হবে ।

অনুচ্ছেদ 1.5 এর উপপাদ্য দেখো ।

মনে করো A = {a,b,c} , B = {a , b } ,C= {a ,b,d} , D = { c ,d} এবং E = {d}; যুক্তিসহ নিম্নলিখিত বক্তব্যগুলির মধ্যে কোনগুলি সত্য বলঃ

(i) B ⊂ A (ii) D ⊅ E (iii) D ⊂ B (iv) {a} ⊂ A

সমাধানঃ

(i) B ⊂ A

সত্য

কারণ B এর প্রত্যেকটি পদ A সেটেরও পদ

আবার B ≠ A কারণ c ∈ A কিন্তু c ∉ B

(ii) D ⊅ E

বিবৃতি টি মিথ্যা

কারণ E = { d } আবার D = { c ,d }

∴ E ⊂ D

∴ D ⊅ E সত্য নয় ।

(iii) D ⊂ B

স্পষ্টতই c ∈ D , d ∈ D কিন্তু c ∈ B এবং d ∈ B

∴ D ⊂ B সত্য নয় ।

(iv){a} ⊂ A

যেহেতু , a ∈ A সুতরাং {a} ⊂ A সত্য ।

মনে করো A ={a,b,c,d,e,f,g,h,i} , B = {b ,d,f,h } C= {a,c,e,g,i}, D = { c,d,e} , এবং E ={ c,e }। যদি নিম্নলিখিত তথ্য দেওয়া থাকে তবে কোন সেট X এর সঙ্গে সমান হতে পারে ?

(i) X এবং B পরস্পর বিচ্ছেদ সেট

(ii) X ⊂ A কিন্তু X ⊄ C

(iii) X ⊂ D কিন্তু X ⊄ B

(iv) X ⊂ C কিন্তু X ⊄ A

সমাধানঃ

(i) X ও B পরস্পর বিচ্ছেদ সেট হবে যখন b,d,f,h ∉ X

সুতরাং X , C এবং E এর মধ্যে কোনও একটি হবে

∴ X = C or X = E

(ii) B ⊂ A and B ⊄ C

∴ X = B হতে পারে

আবার D ⊂ A এবং D ⊄ C

∴ X = D হতে পারে

(iii) স্পষ্টতই E ⊂ D এবং E ⊄ B

∴ X = E হতে পারে

(iv) যেহেতু B ,C ,D ,E প্রত্যেক টি সেটই A এর যথার্থ উপসেট হতে পারে সুতরাং B ,C ,D,E এর মধ্যে কোনটিই X হতে পারে না ।

এখন A ⊄ A [ যেহেতু A =A ]

কিন্তু A ⊂ C সত্য নয়

∴ X ≠ A

সুতরাং কোনও সেটই X এর সঙ্গে সমান হতে পারেনা ।

7.A= {a,b,c,d,e } , B = {a ,c,e,g} এবং C = {b ,c,f,g} হলে দেখাও যে

(i) (A ∪ B) ∩ C = (A∩C) ∪ ( B∩C)

(ii) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C )

সমাধানঃ

(i) (A ∪ B) = {a,b,c,d,e} ∪ { a ,c,e,g }

= {a ,b,c,d,e,g}

∴ (A ∪ B) ∩ C = { a,b,c,d,e,g} ∩ {b,c,f,g }

= {b,c,g}

A ∩ C = {a,b,c,d,e }Ç{b ,c,f,g} = {b,c}

B ∩ C = {a ,c,e,g}Ç{b ,c,f,g} = {c , g }

∴ (A ∩ C) ∪ ( B ∩ C)

= {b,c}∪{c,g}

= {b,c,g}

∴ (A ∪ B) ∩ C = (A∩C) ∪ ( B∩C) [ প্রমানিত ]

(ii) (A∩B) = {a,b,c,d,e } ∩ {a ,c,e,g}

= { a , c,e}

∴ (A∩B)∪C

= {a ,c,e } ∪ {b ,c,f,g}

= {a,b,c,e,f,g}

A ∪ C

= {a,b,c,d,e } ∪ {b ,c,f,g}

={a,b,c,d,e,f,g}

B∪C

= {a,c,e,g} ∪ {b,c,f,g}

= {a,b,c,e,f,g}

∴ (A ∪ C) ∩ (B∪C )

= {a,b,c,d,e,f,g} ∩ {a,b,c,e,f,g}

= {a,b,c,e,f,g}

∴ (A∩B)∪C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C ) [প্রমানিত]

(i) মনে করো সার্বিক সেট S = {1, 2, 3, 4, 5} এবং A = {3 , 4, 5} ও B = {1,4,5 }তার দুটি উপসেট । যাচাই করে দেখাও যে

( A ∪ B)’ = A’ ∩ B‘

সমাধানঃ

(i)A ∪ B = {3 , 4, 5} ∪ {1,4,5 }={1,3,4,5}

∴ ( A ∪ B)’ = S- (A ∪ B)

= {1,2,3,4,5} – {1,3,4,5}

= {2}

A’ = S –A ={1, 2, 3, 4, 5} – {3 , 4, 5} ={1,2}

B’ = S –B = {1, 2, 3, 4, 5}- {1,4,5} = {2,3}

A’ ∩ B’ = {2}

∴ ( A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ [প্রমানিত ]

8(ii) S = {1,2,3,4,5,6…12} – কে তিনটি সমউপাদান সংখ্যা বিশিষ্ট সেট A ,B,C তে বিভক্ত করা হল যাতে A ∪ B ∪ C = S , A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = Φ হয় । এরূপে S কে কত রকম বাবে বিভক্ত করা যাবে ?

সমাধানঃ

S এ মোট 12 টি পদ আছে ।

S সেটকে তিনটি সমউপাদান বিশিষ্ট সেট এ ভাগ করলে প্রতিটি সেট এ পদের সংখ্যা হবে 4 । প্রস্নানুসারে তিনটি সেটের প্রত্যেকটি পদ্গুলি ভিন্ন হবে এরূপে S সেট টিকে মোট 12!/(4! ✕4!✕ 4! ) = 12! / (4! )³ রকমভাবে বিভক্ত করা যাবে ।

A= {1,2,3,4} , B = {2,3,4,5} , C = {1,3,4,5,6,7} হলে (i) A-B (ii) A-C নির্ণয় করো:

অতঃপর দেখাও যে A – (B ∩ C) = (A-B) ∪ (A-C)

সমাধানঃ

(i) A –B = {1,2,3,4} – {2,3,4,5} = {1}

(ii) A-C = {1,2,3,4} – { 1,3,4,5,6,7} = {2}

∴ (A-B) ∪ (A-C ) = {1,2}

Now , B ∩ C = {3,4,5}

∴ A – (B ∩ C) = {1,2}

∴ A – (B ∩ C) = (A-B) ∪ (A-C) [ proved ]

সার্বিক সেট S = {1,2,4,8,16,32} এবং A = {1,2,8,32} ও B = {4,8,32} তার দুটি উপসেট হলে দেখাও যে ,

(i) (A^c)^c = A

(ii) (A ∩ B )^c= A^c ∪ B^c

(iii) (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

সমাধানঃ

(i)A ^c

= S –A

={1,2,4,8,16,32} – {1,2,8,32}

= {4,16}

Now (A^c)^c

= S – A ^c

= {1,2,4,8,16,32} – {4,16}

= {1,2,8,32}

∴ (A^c)^c = A [ proved]

(ii) (A ∩ B )^c= A^c ∪ B^c

A ∩ B = {1,2,8,32} ∩ {4,8,32}

= { 8 ,32 }

∴ (A ∩ B)^c = S – (A ∩ B )

= {1,2,4,8,16,32} – {8,32}

= {1,2,4,16 }

A ^c

= S –A

={1,2,4,8,16,32} – {1,2,8,32}

= {4,16}

B^c = S –B

= {1,2,4,8,16,32} – {4,8,32}

= {1,2 ,16}

Now , A^c ∪ B^c

= {1,2,4,16}

∴ (A ∩ B)^{c =}A ^c ∪ B^c[ Proved ]

(iii) (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

(A ∪ B )

= {1,2,4,8} ∪ {4 ,8,32}

= {1,2,4,8,32}

∴ (A∪B)^c

= S – (A ∪ B )

= {1,2,4,8,16,32}- {1,2,4,8,32}

= {16}

A^c

= S –A

= {1,2,4,8,16,32}- {1,2,8,32}

= {4 ,16}

B ^c

= S – B

= {1,2,4,8,16,32}- {4,8,32}

= {1,2,16}

∴ A^c ∩ B^c

= {4,16} ∩ { 1,2,16}

= {16}

∴ (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c[ proved ]

(i) P = {a,b,c,d,e,f} এবং Q = {a,c,e,f } হলে প্রমান করো যে (P-Q ) ∪ (P ∩Q) = P

(ii) যদি P = { ϴ : sinϴ -cosϴ = √2 cos ϴ}এবং Q = {ϴ : Sinϴ+cosϴ= √ sinϴ } হয় তবে দেখাও যে P = Q

সমাধানঃ

(i)P –Q = {a,b,c,d,e,f}- {a,c,e,f }

= {b,d}

P ∩ Q

= {a,b,c,d,e,f} ∩ {a,c,e,f }

= {a ,c,e,f}

∴ (P-Q) ∪ (P Ç Q)

= {b,d} ∪ {a,c,e,f}

= {a,c,e,f,b,d}

= P [ proved ]

(ii) ধরা যাক x ∈ P যেকোনো একটি পদ ।

∴ sinx-cosx = √2 cosx

⇒ sinx=(√2 +1) cosx

⇒ {1/(√2 +1)}sinx = cosx

⇒(√2-1)/(2-1)sinx = cosx[করণী নিরসন করে পাই ]

⇒ sinx+cosx=√2 sinx

⇒ x ∈ Q

∴ x ∈ P ⇒ x ∈ Q

∴ P ∈ Q ——- (i)

আবার y ∈ Q [ ধরা হল ]

∴ siny+cosy =√2 siny

⇒(√2-1) siny = cosy

⇒ siny = 1/(√2-1) cos y

⇒ siny = (√2 +1) cosy

⇒ siny –cosy = √2 cosy

⇒ y ∈ P

যেহেতু y একটি যেকোনো পদ সুতরাং Q ∈ P ——- (ii)

∴ (i) ও (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই ,

P = Q [ প্রমানিত ]

প্রদত্ত A = {1,2,3,4,5} এবং (B ∪ C)= {3,4,6}হলে

(i) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (ii) (A – B) ∩ (A – C) নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ

(i) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

= A ∩ (B ∪ C )

= {1,2,3,4,5 } ∩ { 3,4,6}

= {3,4}

(ii) (A-B) ∩ (A-C)

= A- (B ∪ C)

= {1,2,3,4,5} – { 3,4,6}

= { 1,2,5}

তিনটি সেট P ও Q এবং R এমনভাবে গঠন করা হল যাতে P ∩Q ≠ Φ , Q ∩ R ≠Φ , R ∩ P ≠ Φ কিন্তু P ∩ Q ∩ R = Φ হয় ।

সমাধানঃ ধরি P = {a,b } , Q = { b,c} এবং R = { c ,a }

∴ P ∩ Q = {b} ≠ Φ

Q ∩ R = {c} ≠ Φ

এবং (R ∩ P ) = {a} ≠ Φ

∴ P ∩ Q ∩ R = (P ∩ Q ) ∩ R = {b}∩{a,c } = Φ

SN Dey Maths Class 11 Set Theory

মনে করো A , B ,C তিনটি সেট । যদি A ⊂ B এবং B ⊂ C হয় তবে A ⊂ C হবে কি ? একটি উদাহরণের সাহায্যে তোমার উত্তরের সত্যতা প্রতিষ্ঠা করো ।

সমাধানঃ ধরাযাক x ∈ A , x হল যেকোনো পদ ।

এখন x ∈ A ⇒ x ∈ B [ as A ⊂ B ]——-(i)

X ∈ B ⇒ x ∈ C [ as B ⊂ C ]——(ii)

(i) ও (ii) থেকে বলতে পারি A ⊂ C

সুতরাং A ⊂ B , B ⊂ C হলে A ⊂ C হবে ।

মনে করো সার্বিক সেট S = {a,b,c,d,e} এবং A = {a,b,d} ও B = {b,d,e} তার দুটি উপসেট । ( A ∩ B )^cএবং (A ∪ B)^cনির্ণয় করো ।

সমাধানঃ

A ∩ B = {a,b,d}∩ { b ,d,e} = {b,d}

(A ∩ B )^c = S – ( A∩B ) = {a,b,c,d,e}-{b,d}= {a,c,e}

A ∪ B = {a,b,d} ∪ {b,d,e} = {a,b,d,e}

∴ (A ∪ B )^c = S – ( A∪B) = {a,b,c,d,e}- {a,b,d,e}= {c}

SN Dey Maths Class 11 Set Theory

16.মনে করো সার্বিক সেট S = {1,2,3,4,5,6 } এবং A∪B = {2,3,4}; (A^c∩B^c ) নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ

(A^c∩B^c )

= (A∪B)^c

=S – (A∪B)

={1,2,3,4,5,6}-{2,3,4}

= {1,5,6}

স্বাভাবিক সংখ্যা সমূহের সেট N এবং aN = {ax : x∈N} হলে , 3N ∩ 7N নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ

aN = {ax:x∈N}

ধরা যাক , x∈ (3N ∩ 7N ), x যেকোনো পদ

⇒ x ∈ 3N এবং x∈7N

⇒ x = 3m এবং x = 7n , m,n ∈ N

x , 3 ও 7 উভয় দ্বারা বিভাজ্য

সুতরাং x ,3 ও 7 এর লসাগু দ্বারা বিভাজ্য।

∴ x=21p , p∈N

3N∩7N ⊆ 21N —— (i)

আবার,21N⊆3N এবং 21N⊆7N

[ ∵21k=3(7k) =7(3k),7k,3k∈N যখন k ∈N ]

21N ⊆ 3N∩7N——-(ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই ,

3N∩7N=21N

Another Method

3N={3,6,9,12,15,18,21,24,………}

7N= {7,14,21,28,35,42,49,………}

3N∩7N = {21,42,……..}=21N

SN Dey Maths Class 11 Set Theory

মনে করো সব অখণ্ড সংখ্যার সেট Z এবং A={x:x=6n,n∈Z} ও B={x:x=4n,n∈Z}; A∩B নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ

A={x:x=6n,n∈Z}=6N

B ={x:x=4n ,n∈Z } =4N

A∩B = 6N∩4N=12N ={x:x=12n,n∈Z}

19.যেকোনো সেট A ও B এর ক্ষেত্রে নিম্নলিখিত গুলি প্রমান করঃ

(i)(B-A)∩A=Φ

(ii)A^c-B^c=B-A

(iii)A-B=A-(A∩B)

(iv)A-B=A∩B^c

(v) B-A^c=A∩B

(vi) B⊆(A-B)^c

(vii)(A∪B)-(A∩B)=(A-B)∪(B-A)

(viii) (A-B)∪(A∩B)=A

সমাধানঃ

(i) A ও B দুটি সেটের মধ্যে দুটি সেটই যদি শূন্য হয় তবে স্পষ্টতই A∩(B-A)= Φ হবে ।

যখন A ও B দুটি সেটের কোনও সেট শূন্য না হলে ধরা যাক A∩(B-A)≠ Φ

তাহলে A∩(B-A) সেটে কমপক্ষে একটি পদ থাকবে । যদি ঐ পদটি x হয় তবে,

x ∈ A∩(B-A)

⇒x∈A and x∈(B-A)

⇒x∈A and (x∈B and x∉A)

(x∈A and x∉A)and x∈B

কিন্তু (x∈A and x∉A) এটি অসম্ভব

অর্থাৎ আমাদের কল্পনা সত্য নয় ।

সুতরাং A∩(B-A)= Φ [ প্রমানিত ]

(ii) ধরাযাক , x ∈ A^c-B^c , x যেকোনো একটি পদ

x ∈ A^c-B^c

⇒ x∈A^c and x∉B^c

⇒ x∉A and x∈B

⇒x∈B and x∉A

⇒ x∈(B-A)

A^c-B^c ⊆ (B-A)—–(i)

ধরাযাক y ∈ B-A, y যেকোনো পদ

⇒y ∈ B-A

⇒y∈B এবং y∉A

⇒y∉Bc এবং y∈A^c

⇒y∈A^cএবং y∉B^c

⇒y∈A^c-B^c

∴B-A ⊆ A^c-B^c ——-(ii)

(i) ও (ii) থেকে বলতে পারি A^c-B^c=B-A

(iii) দুটি সেট A ও B এর জন্য , A∩B⊆B

ধরাযাক , x∈(A-B)

⇒ x∈A and x∉B

⇒x∈A and x∉A∩B [ ∵A∩B⊆B ]

⇒x ∈A-(A∩B)

∴ x∈(A-B)⇒x ∈A-(A∩B)

∴(A-B)⊆A-(A∩B)—— (i)

এখন ধরাযাক, y∈ A-(A∩B), y হল যে কোনও পদ

y∈ A-(A∩B)

y∈A and y∉(A∩B)

⇒ y∈A and (y∉A or y∉B)

⇒(y∈A and y∉A)or(y∈A and y∉B)

⇒(y∈A and y∈A^c )or(y∈A and y∉B )

⇒y∈(A∩A^c ) or y∈(A-B)

⇒y∈{(A∩A^c ) ∪(A-B)}

⇒y∈ Φ∪(A-B)

⇒y∈(A-B)

সুতরাং, y∈ A-(A∩B)⇒y∈(A-B)

A-(A∩B)⊆(A-B)——– (ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই ,

A-(A∩B) = (A-B) [ proved ]

(iv)ধরা যাক x∈(A –B) ,x যেকোনো একটি পদ

x ∈ A-B

⇒ x∈A and x∉B

⇒x ∈ A and x ∈ B’

⇒ x ∈ A∩B’

∴ x ∈(A-B) ⇒ x∈ (A ∩ B’)

∴ A-B ⊆ A∩B’——-(i)

ধরাযাক, y ∈ A∩B’

∴ y ∈ A and y ∈ B’

⇒ y ∈ A and y ∉ B

⇒ y∈ A-B

∴ y ∈ A∩B’ ⇒y ∈ A-B

∴ A ∩ B^c⊆ A-B—–(ii)

So from (i) and (ii)

A-B = A∩B^c [ proved ]

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

20.মনে করো , A, B এবং C তিনটি প্রদত্ত সেট, উদাহরণের সাহায্যে প্রমান করো যে , নীচের বিবৃতি গুলো সত্য নয়ঃ

(i) B∈A এবং x∈B হলে x∈A হবে ।

(ii) B⊂A এবং A∈C হলে ,B∈C হবে

(iii) A⊄ B এবং B⊄C হলে , A⊄C হবে

সমাধানঃ

(i) ধরাযাক B ={x} এবং A = {{x}}=B

স্পষ্টতই x∈B এবং B∈A

কিন্তু, x∈A

সুতরাং প্রদত্ত বিবৃতিটি সত্য নয় ।

(iii) ধরাযাক , A ={x} এবং B ={y,z}, C ={x,z}

স্পষ্টতই , A⊄B এবং B⊄C

কিন্তু, A⊂C

সুতরাং প্রদত্ত বিবৃতি টি সত্য নয় ।

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

সেট প্রক্রিয়ার সাহায্যে 12,15,এবং 18 সংখ্যা তিনটির গসাগু নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ

ধরাযাক A ,B ও C যথাক্রমে 12,15,18 সংখ্যা তিনটির উৎপাদক সমূহের সেট ।

∴ A = {1,2,3,4,6,12}

B = {1,3,5,15}

C= {1,2,3,6,9,18}

এখন, A∩B∩C={1,3}

স্পষ্টতই A∩B∩C সেটের অন্তর্গত পদসমূহের মধ্যে বৃহত্তম পদটির মান প্রদত্ত সংখ্যা তিনটির গসাগু হবে । সুতরাং , প্রদত্ত সংখ্যা তিনটির গসাগু 3 ।

23.ভেন চিত্রের প্রয়োগে আব অন্য পদ্ধতিতে নীচের প্রস্নতির সমাধান করোঃ

একটি স্রেনিতে 70 জন ছাত্র আছে যাদের প্রত্যেকের হয় ইংরাজি বা হিন্দি বা উভয় বিষয় পাঠ করে । 45 জন ছাত্র ইংরাজি এবং 30 জন ছাত্র হিন্দি পাঠ করে । কতজন ছাত্র উভয় বিষয় পাঠ করে তা নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ

ধরাযাক, ইংরাজি এবং হিন্দি পাঠ করে এমন ছাত্রদের সেট যথাক্রমে E ও H ।

প্রশ্নানুসারে, n(E) = 45, n(H)= 30

70 জন ছাত্র হয় ইংরাজি বা হিন্দি বা উভয় বিষয় পাঠ করে।

∴ n(E ∪ H) =70

Implies n(E) +n(H)-n(E∩H)=70

Implies 45+30-n(E∩H)=70

∴ n(E∩H) = 5

সুতরাং উভয় বিষয় পাঠ করে এমন ছাত্রের সংখ্যা 5 জন ।

SN Dey Maths Class 11 Set Theory

কলকাতার 1003 টি পরিবারের তথ্য অনুসন্ধানে দেখা গেল 63 টি পরিবারের রেডিও বা টিভি ছিলনা;794 টি পরিবারের রেডিও এবং 187 টি পরিবারে টিভি ছিল । কতগুলো পরিবারের রেডিও এবং টিভি উভয় ছিল ?

সমাধানঃ

ধরাযাক রেডিও টিভি ছিল এমন পরিবার সমূহের সেট যথাক্রমে R এবং T ।

প্রদত্ত, n (R)= 794 , n (T)= 187

∴রেডিও বা টিভি ছিলনা এমন পরিবার সমূহের সেট = (R∪T)^c

প্রশ্নানুযায়ী, n(R∪T)^c=63

⇒ U – n(R∪T) = 63

⇒1003 – n(R∪T) = 63

⇒N(R∪T) = 1003-63

⇒ n (R∪T) =940

⇒ n(R) + n(T) – n(R ∩ T) = 940

⇒794 +187 – n(R ∩ T)=940

⇒ n(R ∩ T) = 940-794-187

⇒n(R∩T) = 41

সুতরাং , রেডিও , টিভি উভয় ছিল এম পরিবারের সংখ্যা 41 ।

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

কোনও বাজার অনুসন্ধানকারী দল 1000 জন ব্যবহারকারীর তথ্য অনুসন্ধান করল এবং রিপোর্ট করল যে, 720 জন ব্যবহারকারী A সামগ্রী এবং 450 জন ব্যবহারকারী B সামগ্রী পছন্দ করে । কমপক্ষে কতজন উভয় সামগ্রী পছন্দ করে ?

সমাধানঃ

ধরাযাক , A ও B সামগ্রী ব্যবহারকারী দের সেট যথাক্রমে X এবং Y ।

প্রশ্নানুযাই, n(X) =720 , n(Y) = 450 ।

এখন , n(X∪Y)= 1000

⇒ n(X)+n(Y)-n(X∩Y)= 1000

⇒720+450-n(X∩Y) =1000

⇒1170- n(X∩Y) = 10000

⇒n(X∩Y) = 1170-1000

⇒ n(X∩Y)= 170

সুতরাং , 170 জন উভয় সামগ্রী পছন্দ করে ।

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

কোনও শহরে শতকরা 60 জন A পত্রিকা পাঠ করে এবং শতকরা 25 জন A পত্রিকা পাঠ করেনা কিন্তু B পত্রিকা পাঠ করে । শতকরা কতজন কোনও পত্রিকা পাঠ করে না তা গণনা করো । সম্ভাব্য সর্বাধিক ও সর্বনিম্ন কতজন B পত্রিকা পাঠ করে তাও নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ

ধরাযাক A ও B পত্রিকা পাঠ করে এমন ব্যাক্তির সংখ্যার সেট যথাক্রমে X ও Y ।

প্রদত্ত শর্তানুসারে , n(X)=60 এবং n(Y∩X’)=25

কোনও না কোনও পত্রিকা পাঠ করে এমন ব্যাক্তির শতকরা সংখ্যা

n(X∪Y) = n(X) +n(Y∩X’)

=60+25

=85

সুতরাং কোনও পত্রিকাই পাঠ করে না এমন ব্যাক্তির শতকরা সংখ্যা = 100-85 =15

আবার Y ⊆ (X∪Y)

Implies n(Y)≤n(X∪Y)

Implies n(Y) ≤ 85

সুতরাং সম্ভাব্য সর্বাধিক শতকরা 85 জন B পত্রিকা পাঠ করে ।

আবার , n(X ∩ Y ) ≥ 0

⇒ n(X) +n(Y) – n(XUY)≥ 0

⇒ 60 +n(Y) -85 ≥ 0

⇒ n(Y) ≥ 25

সুতরাং সম্ভাব্য সর্বনিম্ন শতকরা 25 জন B পত্রিকা পাঠ করে ।

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

27.(i)দুটি সেট A ও B এর পদ সংখ্যা যথাক্রমে p ও q ; যদি A সেটের উপসেটের সংখ্যা , B সেটের উপসেটের সংখ্যার চেয়ে 56 বেশি হয় , তবে p ও q এর মান নির্ণয় করো ।

27(ii). দুটি সসীম সেট A এবং B এর উপাদান সংখ্যা যথাক্রমে m এবং n হলে ,A∪B – এর সবচেয়ে বেশি এবং সবচেয়ে কম কতগুলি উপাদান সংখ্যা পাওয়া যাবে ।

সমাধানঃ

(i)প্রদত্ত A সেটের পদসংখ্যা , n(A) = p এবং B সেটের পদসংখ্যা , n(B)= q ।

এখন A সেটের উপসেটের সংখ্যা = n(P(A))=2^p

এখন B সেটের উপসেটের সংখ্যা = n(P(B)) = 2^q

প্রশ্নানুসারে , 2^p =2^q +56

⇒ 2^q (2 ^p-q -1) = 56 = 23 (23-1)

স্পষ্টতই , উপরক্ত শর্ত সিদ্ধ হয় যখন q =3 , p-q = 3 অর্থাৎ p=6 ,q =3 হবে ।

(ii) আমারা জানি ,

N(AUB) = n(A)+n(B)-n(A∩B)

= m+n-n(A∩B)

আমরা জানি , Φ ⊆ A∩B⊆ A এবং Φ ⊆ A∩B ⊆ B

n(Φ) ≤ n(A∩B) ≤ n(A)

এবং n(Φ)≤ n(A∩B)≤ n(B)

∴ 0≤ n(A∩B) ≤ m —– (i)

এবং 0≤ n(A∩B) ≤ n —– (ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই ,

0 ≤ n(A∩B) ≤ min{m,n} = m , যখন m less or equal n

n , যখন n ≤ m

⇒ – min{m,n} ≤ –n (A∩B) ≤ 0

⇒ m+n-min{m,n}≤ m+n-n(A∩B)≤ m+n

⇒ m+n-min{m,n} ≤ n(A∪B) ≤ m+n

সুতরাং n(AUB) এর সর্বচ্চ ও সর্বনিম্ন মান যথাক্রমে m+n ও m+n-min{m,n} ।

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

দীর্ঘ উত্তরধর্মী ( প্রতিটি প্রশ্নের মান – 5)

দুটি সসীম সেট A এর ক্ষেত্রে , A সেটের পদসংখ্যা n(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয় । একটি ভেন চিত্রের প্রয়োগে বা অন্য কোনও পদ্ধতিতে যেকোনো দুটি সেট A ও B এর ক্ষেত্রে প্রমান করো যে , N(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

তিনটি সেট A , B ,C এর ক্ষেত্রে এই ফল বিস্তৃত করো ।

প্রমানঃ মনে করো A , B এবং (A∩B) সেট তিনটির পদ সংখ্যা যথাক্রমে p ,q এবং r ; অর্থাৎ

N(A)=p , n(B)=q , n(A∩B) = r ।

এখন ভেন চিত্র থেকে সহজেই বোঝা যায় যে ,

N(A-B) = n(A)-n(A∩B) = p-r

N(B-A) = n(B)- n(A∩B) = q-r

আবার ভেন চিত্র থেকে আরও বোঝা যায় যে , (A-B) , (AÇB) এবং (B-A) সেট তিনটি পরস্পর বিচ্ছেদ সেট (disjoint set ) এবং (A∪B) পদের পদসংখ্যা =(A-B) , (A∩B) এবং (B-A) এই সেট তিনটির পদের সমষ্টির সমান ।

অর্থাৎ , n(A∪B) = n(A-B) +n(A∩B) +n(B-A)

বা, n(A∪B) = p-r+r+q-r = p+q-r

∴ n(A∪B) = n(A) +n(B)- n(A∩B) [ proved ]

এবার প্রমান করতে হবে ,

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

A={0<x ≤ 2} এবং B = {x:1<x<3} হলে

(i) A ∩ B

(ii) A ∪ B

(iii) A-B

(iv) (AUB)- (A∩B)

নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

3.A = {2≤x<5} এবং B= {x: 3<x<7} হল সার্বিক সেট ,S={x: 0<x≤10} এর দুটি উপসেট

প্রমান করো যে , (A union B )^c = A^c intersection B^c

সমাধানঃ

A∪B = {x:2≤x<7}

(AUB)^c

=S-(AUB)

={x:0<x ≤10}-{x: 2≤x<7}

= {x: 0<x <2, 7≤x≤10 }

এখন,

A^c = {x:0< x <2, 5≤x≤10 }

এবং B^c = {x: 0 <x ≤3, 7≤x≤10 }

∴ A^c∩ B^c = {x: 0<x< 2, 7≤x≤10 }

∴ (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c [ proved ]

4.P ={p,q,r,s,t,u} এবং Q intersection R={q,r,v,w} হলে ,

(i) (P U Q)∩(PUR) (ii)(P-Q)U(P-R) নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

5.যদি S সার্বিক সেটের A , B ,C তিনটি উপসেট হয় , যেখানে S ={1,2,3,4,5,6,7} , A={1,3,5,6}, B∩C={1,2,6},

তবে (A ∪ B)∩ (A∪ C) এবং (B^c ∩ C^c) নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ

SN Dey Maths Class 11 Set Theory

6.যদি U = {a,b,c,d,e,f} সার্বিক সেট হয় এবং A,B,C যদি U এর তিনটি উপসেট হয় , যেখানে A = {a,c,d} এবং (B∪C) ={a,d,c,f}, তবে (A∩B)∪(A∩C) এবং (B^c∩C^c) নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ

(A∩B)U(A∩C)= A∩(B U C)={a,c,d}

(B^c∩C^c)= (BUC)^c= U-(BUC)={b,e}

প্রদত্ত X∪Y ={1,2,3,4} , X ∪Z={2,3,4,5}, X ∩ Y ={2,3} এবং X∩Z ={2,4}; X ,Y ,Z এর মান নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ

element \Set	Set X	Set Y	Set Z
1	[∵1 ∉XUZ ]	[∵1∈ (X∪Y) এবং 1∉(X∪Z)]	[∵1∉ (X∪Z)]
2	[∵ 2∈(X∩Y)]	[∵ 2∈(X∩Y)]	[∵ 2∈(X∩Z)]
3	[∵ 3∈(X∩Y)]	[∵ 3∈(X∩Y)]	[∵3∈X এবং 3∉(X∩Z)]
4	[∵4∈(X∩Z)]	[∵4∈X এবং 4∉(X∩Y)]	[∵4∈(X∩Z)]
5	[∵5∉(X∪Y)]	[∵5∉(X∪Y)]	[∵5∈(X∪Z) এবং5∉(X∪Y)]

∴ X={2,3,4} ,Y={1,2,3}, Z={2,4,5}

SN Dey Maths Class 11 Set Theory

10.যেকোনো তিনটি সেট A,B,C এর ক্ষেত্রে নিম্নলিখিত গুলি প্রমান করোঃ

(i) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

সমাধানঃ

(ii)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

সমাধানঃ

(iii)A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

সমাধানঃ

(iv)A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

সমাধানঃ

(v)(A∪B)^c =A^c∩B^c

সমাধানঃ

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

(vi)(A∩B)^c = A^c ∪ B^c

সমাধানঃ

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

(vii)A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)

সমাধানঃ

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

(viii)A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)

সমাধানঃ

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

(ix)(A-C)∩(B-C)=(A∩B)-C

সমাধানঃ

(x)(A∪B)-C=(A-C)∪(B-C)

সমাধানঃ

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

সেট বীজগণিতের সূত্রাবলী প্রয়োগে নিম্নলিখিতগুলি প্রমান করো ঃ

(i) A∩(B-A)=Φ

সমাধানঃ

(ii) A∪(B-A)=A∪B

সমাধানঃ

(iii) (A∩B)-C =(A-C)∩(B-C)

সমাধানঃ

(iv)(A∪B)-C=(A-C)∪(B-C)

সমাধানঃ

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

12.কোনও engineering college-এ 80 জন ছাত্র computer science , 75 জন information technology এবং 72 জন electronics-এ পড়ার সুযোগ পায় ; যদি 60 জন ছাত্র প্রথম ও দ্বিতীয় ,50 জন ছাত্র দ্বিতীয় ও তৃতীয় এবং 40জন প্রথম ও তৃতীয় এবং 30 জন তিনটি শাখাতেই পড়ার সুযোগ পেয়ে থাকে তবে কলেজে ছাত্রদের জন্য কতগুলো আসন আছে ? ( ধরে নাও কলেজে কেবল তিনটি শাখাই আছে )

সমাধানঃ

ধরা যাক , Computer science , Information Technology ও Electronics এর ছাত্রদের সেট যথাক্রমে A,B এবং C

এখন,

n(A)=80

n(B)=75

n(C)= 72

n(A∩B)=60

n(B ∩ C)=50

n(C ∩ A)=40

এবং n(A∩B∩C )=30

কলেজের মোট ছাত্রসংখ্যা অর্থাৎ n(AUBUC) নির্ণয় করতে হবে

∴ n(AUBUC)

=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)

=80+75+72-60-40-50+30

= 107

অর্থাৎ কলেজে ছাত্রদের দের জন্য মোট আসন সংখ্যা 107টি ।

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

13.100 জন ছাত্রের তথ্যুানুসন্ধানে দেখা গেল 50জন ছাত্র কলেজ লাইব্রেরীর পুস্তক ব্যাবহার করত , 40 জনের নিজস্ব পুস্তক ছিল এবং 30 জন ধার করা পুস্তক ব্যাবহার করত ; 20 জন লাইব্রেরীর পুস্তক ব্যাবহার করত এবং তাদের নিজস্ব পুস্তক ও ছিল , 15 জন নিজস্ব পুস্তক এবং ধারকরা পুস্তক ও ব্যাবহার করত এবং 10 জন কলেজ লাইব্রেরীর পুস্তক ও ধার করা পুস্তক ব্যাবহার করত । প্রত্যেক ছাত্র কলেজ লাইব্রেরীর পুস্তক অতঝবা নিজস্ব পুস্তক অথবা ধারকরা পুস্তক ব্যাবহার করে ধরে তিনটি উৎস থেকেই পুস্তক ব্যবহার করত এমন ছাত্র সংখ্যা নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ

ধরাযাক , সমগ্র ছাত্রের সেট S , লাইব্রেরীর পুস্তক ব্যাবহারকারী ছাত্রের সেট =A, নিজস্ব পুস্তক ব্যাবহারকারী ছাত্রের সংখ্যা = B এবং ধারকরা পুস্তক ব্যাবহারকারী ছাত্রের সেট = C

এক্ষেত্রে ,

n(S)=n(AUBUC)=100

n(A)=50

n(B)= 40

n(C )= 30

n(A∩B)= 20

n(B∩C) = 15

n(C∩A)= 10

n(A∩B∩C) নির্ণয় করতে হবে

n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)-n(A∩B∩C)

⇒100=50+40+30-20-15-10+n(A∩B∩C)

⇒100=75+n(A∩B∩C)

⇒n(A∩B∩C)= 100-75

⇒n(A∩B∩C) = 25

অর্থাৎ তিনটি উৎস থেকেই পুস্তক ব্যাবহার করে এমন ছাত্র সংখ্যা 25 জন ।

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

14.কোনও কম্পানি 300 জন ব্যাবহারকারীর কোন ধরনের সামগ্রী পছন্দ করেন তার অনুসন্ধান করে । দেখা গেল যে, 226 জন A সামগ্রী , 51 জন B সামগ্রী , 54 জন C সামগ্রী , 21 জন A ও B উভয় সামগ্রী , 54 জন A ও C উভয় সামগ্রী , 39 জন B ও C উভয় সামগ্রী এবং 9 জন তিন ধরনের সামগ্রী পছন্দ করেন ।প্রমান করো যে তথ্যানুসন্ধানের ফলসমূহ সঠিক নয় (ধরে নাও যে প্রত্যেক ব্যাবহার কারী অন্তত একধরনের সামগ্রী পছন্দ করেন ) ।

সমাধানঃ

A সামগ্রী,B সামগ্রী এবং C সামগ্রী ব্যাবহার কারীর সেট যথাক্রমে X ,Y এবং Z ধরা হল ।

∴ n(X)=226

n(Y)= 51

n(Z)=51

n(X ∩ Y)= 21

n(X ∩ Z )=54

n(Y ∩ Z)=39

and n(X ∩ Y ∩ Z )= 9

মোট ব্যাবহারকারীর সংখ্যা = (X ∪ Y ∪ Z) নির্ণয় করতে হবে ।

n(X∪Y∪Z) = n(X) +n(Y) +n(Z) – n(X∩Y)-n(Y∩Z)-n(Z∩X)+n(X∩Y∩Z)

= 226+51+54-21-39-54+9

= 226

প্রশ্নানুযায়ী , মোট ব্যাবহার কারীর সংখ্যা 300 অর্থাৎ তথ্যানুসন্ধানের ফলসমূহ সঠিক নয় ।

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

শ্রমিকদের দ্বারা উৎপাদিত 100 টি সামগ্রী পরীক্ষা করে সেন ,সরকার ও লাহিড়ী কোম্পানিরম্যানেজার তাঁর বসের কাছে নিম্নলিখিত রিপোর্ট দাখিল করেনঃ

পরিমাপে ত্রুটি 50 টি সামগ্রীতে , রঙে ত্রুটি 30 টিতে , উৎকর্ষে ত্রুটি 23 টিতে , উৎকর্ষে ও রঙে ত্রুটি 10 টিতে , পরিমাপ ও রঙে ত্রুটি 8 টিতে, পরিমাপ ও উৎকর্ষে ত্রুটি 20 টিতে এবং 5 টি সবগুলোতেই ত্রুটিপূর্ণ । দাখিল করা রিপোর্টটির জন্য ম্যানেজার কে দণ্ড দেওয়া হল । সেট তত্ত্বের প্রয়োগে দণ্ড দেওয়ার কারণ ব্যাখ্যা করো ।

সমাধানঃ

ধরাযাক A ,B ,C দ্বারা যথাক্রমে পরিমাপে ত্রুটি , রঙে ত্রুটি ও উৎকর্ষে ত্রুটি রয়েছে এমন সামগ্রীর সেট নির্দেশিত হয় ।

∴ n(A)= 50

n(B) = 30

n(C) = 23

n(A ∩ B)=8

n(B ∩ C)= 10

n(A ∩ C)= 20

n (A ∩ B ∩ C)=5

∴ মোট সামগ্রী সংখ্যা নির্দেশিত সেটটি হল ( A∪B∪C)

n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)

=50+30+23-8-10-20+5

=103-38+5

=103-33

=70

∴ মোট সামগ্রী সংখ্যা = 70

কিন্তু প্রদত্ত শর্তানুসারে মোট সামগ্রী সংখ্যা = 100 যা অসম্ভব । তাই দাখিল করা রিপোর্টটির জন্য ম্যানেজার কে দণ্ড দেওয়া হল ।

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

16.কোনও শহরে সংবাদ পত্র X,Y,Z প্রকাশিত হয় । ঐ শহরে 65% লোক X পত্রিকা, 54% লোক Y পত্রিকা ,45% লোক Z পত্রিকা পড়ে ; 38% লোক X ও Y ; 32% লোক Y ও Z ; 28% লোক X ও Z পত্রিকা পড়ে এবং 12% লোক ঐ তিনপ্রকার পত্রিকার কোনটাই পড়ে না । যদি শহরে মোট লোক সংখ্যা 1000000 জন হয় তবে শহরে কতজন লোক 3টি পত্রিকাই পড়ে তা নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ

ধরি মোট পাঠকের সংখ্যা = 100 টি ।

∴ n(U)= 100

ধরাযাক X ,Y ,Z সংবাদপত্রের পাঠকের সেট যথাক্রমে A ,B এবং C

শর্তানুসারে,

n(A)= 65

n(B)=54

n(C)= 45

n(A∩B) = 38

n(B∩C) = 32

n(C∩A ) = 28

n( A^c∩B^c∩C^c ) =12

এখন তিনটে সংবাদপত্রই পড়ে এমন পাঠকের সংখ্যা =n(A∩B∩C )

n(A^c∩B^c∩C^c )=n(A U B U C)^c

⇒ n(A^c ∩ B^c ∩ C^c )=n(U) – n(A∪B∪C)

⇒ 12 = 100-n(A∪B∪C)

⇒ n(A∪B∪C)= 100-12

⇒ n(A∪B∪C)= 88

⇒n(A)+n(B)+n(C) –n(A∩B)-n(B∩C)-n(A∩C) +n(A∩B∩C) =88

⇒ 65 +54+45 – 38-32-28 +n(A ∩ B ∩ C) =88

⇒ 66+n(A ∩ B ∩ C) = 88

⇒ n( A∩B∩C) = 88-66

⇒ n(A ∩ B ∩ C ) = 22

100 জন মোট পাঠক সংখ্যা হলে তিনটে পত্রিকাই পড়ে এমন পাঠকের সংখ্যা 22 জন

∴ 1000000

জন মোট পাঠক হলে তিনটে পত্রিকাই পড়ে এমন পাঠকের সংখ্যা

= 22/100 ✕ 1000000

= 220000 জন

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

17.কোনও কলেজের 1000 জন ছাত্রের মধ্যে 540 জন ফুটবল ,465 জন ক্রিকেট এবং 370 জন ভলিবল খেলে ; মোট ছাত্র সংখ্যার 325 জন ফুটবল ও ক্রিকেট ,260 জন ফুটবল ও ভলিবল ,235 জন ক্রিকেট ও ভলিবল এবং 125 জন প্রত্যেকটি গেম খেলে । কতজন ছাত্র

(i) কোনও গেম খেলে না?

(ii) কেবল একটি গেম খেলে

(iii) ঠিক দুটো গেম খেলে ?

সমাধানঃ ধরাযাক , ক্রিকেট , ফুটবল ও ভলিবল খেলা ছাত্রের সেট যথাক্রমে A,B এবং C । কলেজের মোট ছাত্রের সেট = U

শর্তানুসারে ,

n(U)=1000

n(A)= 465

n(B) = 540

n(C ) = 370

n(A ∩ B)= 325

n(B ∩ C )=260

n(C ∩ A )= 235

n(A ∩ B ∩ C ) = 125

এখন , n( A U B U C )

= n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A )+n(A ∩ B ∩ C )

=465+540+370-325-260-235+125

=680

(i) কোনও গেম খেলে না এমন ছাত্রের সংখ্যা

= n( A^c ∩ B^c ∩ C^c)

= n (A ∩ B ∩ C)^c

= n(U)-n(A ∪ B ∪ C )

= 1000-680

= 320

(ii)

শুধু ক্রিকেট খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা ,

= n(A∩ B^c ∩C^c)

= n(A)-n(A ∩ B)-n(A ∩ C)+n( A∩B∩C)

= 465-325-235+125

=30

শুধু ফুটবল খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা ,

n(B∩ A^c ∩ C^c)

= n(B)-n(A ∩ B)-n(B ∩ C)+n(A∩B∩C)

= 540-325-260+125

=80

শুধু ভলিবল খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা,

n(C ∩ A^c ∩ B^c)

= n( C )-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩B∩C )

= 370-235-260 +125

= 0

∴ কেবল একটিই গেম খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা ,

n(A∩B^c∩C^c)+ n(B ∩ A^c ∩ C^c)+ n(C∩A^c∩B^c)

= 80+30+0

= 110

(iii) ঠিক দুটো গেম খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা ,

n(A∩B∩C^c)+n(A∩B^c ∩ C) +n(A^c ∩ B ∩ C)

={n(A∩B )-n (A ∩ B ∩ C)}+{n(A ∩ C)-n(A∩B∩C)}+{n(B ∩ C)-n(A ∩ B ∩ C)}

= n(A ∩ B) +n(B ∩ C ) +n(C ∩ A )- 3n(A ∩ B ∩ C )

= 325+260+235-(3✕125)

= 445

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

18.একটি দলে কয়েক জন ছাত্র আছে এবং দলের প্রত্যেকে বাংলা,হিন্দি ও ইংরাজি ভাষার মধ্যে কমপক্ষে একটি বলতে পারে । 65 জন বাংলা, 54 জন হিন্দি এবং 37 জন ইংরাজি ভাষায় কথা বলতে পারে; 31 জন বাংলা ও হিন্দি ,17 জন হিন্দি ও ইংরাজি এবং 18 জন বাংলা ও ইংরাজি ভাষায় কথা বলতে পারে । দলের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম ছাত্র সংখ্যা নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ

বাংলা , হিন্দি ও ইংরাজি তে কথা বলতে পারে এমন ছাত্রের সেট যথাক্রমে A ,B , C

∴ n(A U B U C )= n(A)+n(B)+n(C)-n(A ∩ B)- n(B ∩ C )-n(C∩A )+n(A ∩ B ∩ C)

=65+54+37-31-17-18

=90+ n(A ∩ B ∩C )

এখন, n(A U B U C ) এর মান ক্ষুদ্রতম হবে যদি n(A ∩ B ∩ C ) = 0 হয় ।

∴ n(A U B U C )এর ক্ষুদ্রতম মান = 90+0=90

আবার n(A U B U C ) এর মান বৃহত্তম হবে যদি n(A ∩ B ∩ C ) বৃহত্তম হয় ।

n(A ∩ B ∩ C ) এর বৃহত্তম মান = (A∩B ) , (B∩C ) এবং (C∩A ) এদের ক্ষুদ্রতম মান = 17

∴ n(AUBUC ) এর বৃহত্তম মান = 90+17 = 107

সেট প্রক্রিয়া প্রয়োগে প্রমান করো যে , 231 এবং 260 সংখ্যা দুটি পরস্পর মৌলিক ।

সমাধানঃ ধরাযাক, সংখ্যা দুটির গুণনীয়কের সেট যথাক্রমে A ও B ।

A = {1,3,7,11,21,33,77,231}

B = {1,2,4,5,10,13,20,26,52,65,130,260}

এখন A ∩ B = {1}

∴ 231 ও 260 সংখ্যা দুটি পরস্পর মৌলিক ।

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

মনে করো A₁,A₂,A₃,…….,A₃₀এই 30 টি সেটের প্রত্যেকটিতে 5 টি করে এবং B₁,B₂,B₃,…….,B_nএই n সংখ্যক পদের প্রত্যেকটিতে তিনটি করে পদ আছে ।ধরো , A₁UA₂UA₃……..UA₃₀ =B₁UB₂UB₃……..UB_n =S , মনে করো S এর প্রত্যেকটি পদ ঠিক দশটি A সেটে এবং নয়টি B সেটে আছে । n এর মান নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ S = A₁ U A₂ U A₃ U ………..U A₃₀

প্রতিটি A_i তে 5 টি করে পদ আছে ।

∴ মোট পদসংখ্যা = 30 ✕ 5 =150 টি

কিন্তু S সেটের প্রতিটি পদ 10 টি A সেটের মধ্যে আছে

S সেটের পদসংখ্যা = 150/10 =15

S= B₁ U B₂ U B₃……….U B_n এবং প্রতিটি B_i তে 3 টি করে পদ আছে ।

কিন্তু S সেটের প্রতিটি পদ 9 টি B সেটের মধ্যে আছে

∴S সেটের পদসংখ্যা = 3n/9= n/3

প্রশ্নানুযায়ী,

n/3 = 15

or , n = 45

Sign up for Newsletter

Kamaleshforeducation.in

|সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

SN Dey Solution For Class 11 Chapter 1 Set Theory|

সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান একাদশ শ্রেণি সেট তত্ত্ব

Leave a Reply Cancel reply