পশ্চিমবঙ্গ উচ্চ মাধ্যমিক শিক্ষা সংসদ | বিষয়: গণিত (MATHEMATICS) | দ্বাদশ শ্রেণী (সেমিস্টার ৪) সমস্ত গাণিতিক চিহ্ন (Math Symbols) এবং সমীকরণগুলোকে ইউনিকোড (Unicode) টেক্সট ফরম্যাটে তৈরি করে দেওয়া রয়েছে।  

WBCHSE HS 4th Semester Mathematics

উচ্চ মাধ্যমিক অংক

(MATH Question Bank & Model Papers)

যেহেতু অংক এমনিতেই ইংরেজিতে করতে হয়, তবুও সংসদ এখানে দুই রকম ভার্সনে বাংলা এবং ইংরেজি উভয় ফরমেটে দিয়েছে।   একটু খেয়াল রাখতে হবে কিছু অংকে কিন্তু ভুল ত্রুটি রয়েছে। তাই এগুলোকে নমুনা হিসেবে দেখতে– আসল   SN Dey থেকেই অংক প্র্যাকটিস করতে হবে পরীক্ষার জন্য।

মডেল কোশ্চেন পেপার – ১ (Bengali Version)

সময়: ২ ঘণ্টা | পূর্ণমান: ৪০

বিভাগ-ক (Section-A)

১. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ২ = ২)

• A. â এবং b̂ একক ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ θ হলে দেখাও যে, sin(θ/2) = ½ |â – b̂|

• B. A, B, C বিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 2î – ĵ + 3k̂, î – 2ĵ – k̂ এবং 3î + 2ĵ + 4k̂ হলে ABC তলের উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

২. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ২ = ২)

• A. λ এর কোন মানের জন্য (2x – 2)/2 = (3y + 3)/(3λ) = (z + 5)/2 এবং (x – 2)/3 = (y + 1)/(-2λ) = (2z – 1)/0 সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব হবে তা নির্ণয় করো।

• B. দুটি সরলরেখার দিক অনুপাত (d.r) যথাক্রমে (1, 2, -3) এবং (0, 1, 2), যে সরলরেখা ওই দুটি সরলরেখার উপর লম্ব, তার দিক্ কোসাইন (d.c) নির্ণয় কর।

৩. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ২ = ২)

• A. মান নির্ণয় করো: ∫[0→2] |x² – 1| dx

• B. মান নির্ণয় করো: ∫ dx / √(eˣ – 1)

৪. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ২ = ২)

• A. y = cos x এবং x অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো যখন 0 ≤ x ≤ π/2।

• B. y = 16(x – 1)(4 – x) বক্ররেখা এবং x অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

৫. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ২ = ২)

• A. যে সকল বৃত্ত মূলবিন্দুতে x-অক্ষকে স্পর্শ করে তাদের অবকল সমীকরণ গঠন করো।

• B. y = a cos(log x) + b sin(log x) দ্বারা x²(d²y/dx²) + x(dy/dx) + y = 0 অবকল সমীকরণ সিদ্ধ হয় কিনা যাচাই করো।

৬. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ২ = ২)

• A. চরম কার্যকর সমাধান (Optimal Feasible Solution) বলতে কী বোঝ? উদাহরণসহ লেখ।

• B. প্রমাণ করো যে, একটি রৈখিক প্রোগ্রামিং এর বিষয়াত্মক অপেক্ষক Z = x + y, শর্তসাপেক্ষে বাধাসমূহ x – y ≤ -1, -x + y ≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0 হলে এর কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

বিভাগ-খ (Section-B)

৭. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ৩ = ৩)

• A. α⃗, β⃗, γ⃗ ভেক্টর তিনটি এমন যে, |α⃗|=3, |β⃗|=4, |γ⃗|=5 এবং প্রত্যেক ভেক্টর অপর দুটি ভেক্টরের যোগফলের সঙ্গে লম্ব হয়, তবে দেখাও যে, |α⃗ + β⃗ + γ⃗| = 5√2

• B. যদি 5 একক এবং 3 একক পরিমাণের দুটি বল যথাক্রমে 6î + 2ĵ + 3k̂ এবং 3î – 2ĵ + 6k̂ অভিমুখে প্রযুক্ত হওয়ায় একটি বস্তু কণা A(2, 2, -1) বিন্দু থেকে B(4, 3, 1) বিন্দুতে স্থানান্তরিত হয়, তবে কৃতকার্যের পরিমাণ নির্ণয় কর।

৮. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ৩ = ৩)

• A. মান নির্ণয় করো: ∫ (log x) / (1 + log x)² dx

• B. প্রমাণ করো: ∫[0→π/2] dx / (5 + 4 sin x) = (2/√3) tan⁻¹(1/√3)

৯. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ৩ = ৩)

• A. সমাধান করো: x(dy/dx) – y = x tan(y/x), প্রদত্ত y(1) = π/2

• B. সমাধান করো: (x² + 1)(dy/dx) + 2xy = √(x² + 4)

১০. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ৩ = ৩)

• A. লেখচিত্রের সাহায্যে Z এর চরম মান নির্ণয় করো: Z = 50x + 80y, শর্তসমূহ: 2x + 3y ≤ 1200, x + y ≤ 1000, y ≤ 300, x ≥ 0, y ≥ 0

• B. লেখচিত্রের সাহায্যে Z = 3x + 2y এর চরম মান নির্ণয় করো, শর্তসমূহ: 3x + y ≥ 3, x + 2y ≥ 2, x, y ≥ 0

বিভাগ-গ (Section-C)

১১. যে কোন দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (২ × ৪ = ৮)

• A. (x – 1)/2 = (y – 2)/3 = (z – 3)/4 এবং (x – 2)/3 = (y – 4)/4 = (z – 5)/5 সরলরেখা দুটির মধ্যে ক্ষুদ্রতম দূরত্ব এবং ক্ষুদ্রতম দূরত্ব রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

• B. P(1, 2, 3) বিন্দু থেকে (x – 6)/2 = (y – 7)/2 = (z – 7)/(-3) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব এবং পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক স্কেলার ও ভেক্টর পদ্ধতিতে লেখো।

• C. দুটি সরলরেখার দিক্ কোসাইন (d.c) al + bm + cn = 0 এবং fmn + gnl + hlm = 0 সমীকরণ দুটি সিদ্ধ করে। সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব হলে দেখাও যে, f/a + g/b + h/c = 0

• D. (1, 6, 3) বিন্দুটির x/1 = (y – 1)/2 = (z – 2)/3 সরলরেখায় প্রতিবিম্বের স্থানাঙ্ক এবং প্রতিবিম্ব বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

১২. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ৪ = ৪)

• A. মান নির্ণয় করো: ∫ x² dx / (x sin x + cos x)²

• B. প্রমাণ করো যে: lim(n→∞) (n! / nⁿ)^(1/n) = 1/e

১৩. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ৪ = ৪)

• A. সমাকলনের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, x² + y² = 2ax বৃত্ত এবং y² = ax অধিবৃত্ত দ্বারা সীমাবদ্ধ যে অঞ্চলটি প্রথম পাদে অবস্থিত তার ক্ষেত্রফল a²(π/4 – 2/3) বর্গ একক।

• B. |x| + |y| = 1 দ্বারা উৎপন্ন সীমাবদ্ধ অঞ্চলটি চিহ্নিত করো এবং সমাকলনের সাহায্যে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

মডেল কোশ্চেন পেপার 

২ (Bengali Version)

সময়: ২ ঘণ্টা | পূর্ণমান: ৪০

বিভাগ-ক (Section-A)

১. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ২ = ২)

• A. একটি সামান্তরিকের কর্ণ দুটি a⃗ = 2î – 3ĵ + 4k̂ এবং b⃗ = 2î – ĵ + 2k̂ হলে, সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

• B. a⃗ = î + ĵ – k̂ এবং b⃗ = î – ĵ + k̂ ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

২. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ২ = ২)

• A. যদি P(1, 2, 3), Q(4, 5, 6) এবং R(7, 8, 9) বিন্দুত্রয় সমরেখ হয় তবে Q বিন্দু কি অনুপাতে PR কে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।

• B. যে সরলরেখা স্থানাঙ্ক অক্ষগুলির সাথে সমান কোন উৎপন্ন করে তার দিক্ কোসাইন (D.C.) নির্ণয় কর।

৩. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ২ = ২)

• A. মান নির্ণয় কর: ∫ (sec²x dx) / (3 + tan²x)

• B. মান নির্ণয় কর: ∫ dx / (5 – 8x – x²)

৪. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ২ = ২)

• A. সমাকলের সাহায্যে, y = 4x², x = 0, y = 2 এবং y = 4 দ্বারা সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

• B. xy = c² সমপরাবৃত্ত, x অক্ষ এবং x = c, x = 2c দ্বারা সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

৫. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ২ = ২)

• A. a, b অপণয়ণ করে x = e⁻ᵗ(a cos t + b sin t) এর অবকল সমীকরণ গঠন কর।

• B. সমাধান কর: x²(4 + y²)dx + y²(4 + x²)dx = 0

৬. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ২ = ২)

• A. জ্যামিতিক ভাবে দেখাও যে, S₁ = {(x,y) : x=0, y≥0} এবং S₂ = {(x,y) : x≥0, y=0} সেট দুটির ইন্টারসেকশন উত্তল সেট (Convex Set) নয়।

• B. অপটিমাল সমাধান (Optimal Solution) এর সংজ্ঞা দাও।

• 

বিভাগ-খ (Section-B)

৭. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ৩ = ৩)

• A. যদি a⃗ = 4î + 5ĵ – k̂, b⃗ = î + 4ĵ – 5k̂ এবং c⃗ = 3î + ĵ – k̂ হয় তবে এমন একটি ভেক্টর d⃗ নির্ণয় কর যা c⃗ এবং b⃗ উভয় ভেক্টর দুটির উপর লম্ব এবং d⃗⋅a⃗ = 21।

• B. একটি সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় 2î – 4ĵ + 5k̂ এবং î – 2ĵ + 3k̂, সামন্তরিকটির যে কোন একটি কর্ণের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় কর। সামন্তরিকটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

৮. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ৩ = ৩)

• A. মান নির্ণয় কর: ∫[0→π] (x sin x) / (1 + cos²x) dx

• B. মান নির্ণয় কর: ∫ (sec x) / (1 + cosec x) dx

৯. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ৩ = ৩)

• A. সমাধান কর: 2xy(dy/dx) = x² + y²

• B. সমাধান কর: y log y dx – x dy = 0

১০. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ৩ = ৩)

• A. লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান কর: Minimize Z = 5x + 7y, বাধাগোষ্ঠী 2x + y ≤ 8, x + 2y ≥ 10 এবং x, y ≥ 0

• B. লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান কর: Z_max = 50x + 40y, বাধাগোষ্ঠী 1000x + 1200y ≤ 7600, 12x + 8y ≤ 72, x, y ≥ 0

বিভাগ-গ (Section-C)

১১. যে কোন দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (২ × ৪ = ৮)

• A. (x – 1)/1 = y/(-1) = z/2 এবং (x + 1)/2 = y/2 = (z – 3)/λ সরলরেখা দুটির ন্যূনতম দূরত্ব (S.D) এক একক হলে, λ এর মান নির্ণয় কর।

• B. দেখাও যে, A(0, -1, -1) এবং B(4, 5, 1) বিন্দুগামী সরলরেখা C(3, 9, 4) এবং D(-4, 4, 4) বিন্দুগামী সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করে।

• C. (2, -1, 5) বিন্দুর (x – 11)/10 = (y + 2)/(-4) = (z + 8)/(-11) সরলরেখার সাপেক্ষে প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। আরও প্রদত্ত বিন্দু ও প্রতিবিম্ব বিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

• D. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দিক্ কোসাইন (D.C) নির্ণয় কর, যেখানে শীর্ষ বিন্দুগুলি হল P(0, 7, 10), Q(-1, 6, 6) এবং R(-4, 9, 6)।

১২. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ৪ = ৪)

• A. মান নির্ণয় কর: ∫ (x dx) / ((x – 1)²(x + 2))

• B. মান নির্ণয় কর: ∫[-5→0] f(x) dx, যেখানে f(x) = |x| + |x + 2| + |x + 5|

১৩. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (১ × ৪ = ৪)

• A. x² + y² = 1 এবং (x – 1)² + y² = 1 বৃত্তদ্বয় দ্বারা অন্তর্গত সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

• B. একটি আয়না দেয়ালে ঝুলন্ত আছে যা, x²/9 + y²/4 = 1 উপবৃত্তীয় আকার বিশিষ্ট। হঠাৎ বলের আঘাতে আয়নাটিতে দাগ পড়ে যায় যা x/3 + y/2 = 1 সরলরেখার আকার বিশিষ্ট।

  • (a) উপবৃত্ত এবং সরলরেখার ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

  • (b) উপবৃত্ত ও সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অঞ্চলটি চিহ্নিত কর।

  • (c) আয়না ও সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (অথবা মান নির্ণয় কর: ⅔ ∫[0→3] √(9 – x²) dx)

অধ্যায়ভিত্তিক গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নাবলী 

[Question Bank]

১. ভেক্টর (Vector)

• a⃗ = î – 2ĵ + 5k̂ ভেক্টরের অভিমুখে ৭ মান বিশিষ্ট একটি ভেক্টর নির্ণয় করো।

• 2î + 3ĵ – 5k̂ ভেক্টরের দিক্ কোসাইন নির্ণয় করো।

• ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ করো: cos(A – B) = cos A cos B + sin A sin B

• প্রমাণ করো যে, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ।

২. ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (3D Geometry)

• yz সমতলের সাপেক্ষে (-3, 4, 3) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

• (1, 2, 3) বিন্দুগামী যে সরলরেখা (x + 3)/3 = (y – 4)/5 = (z + 8)/6 এর সমান্তরাল, তার কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় করো।

• দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্রটি লেখ।

৩. সমাকলন (Integration)

• মান নির্ণয় করো: ∫ (e³ˣ + e⁵ˣ) / (eˣ + e⁻ˣ) dx

• মান নির্ণয় করো: ∫[0→π/2] (√cos x) / (√sin x + √cos x) dx

• প্রমাণ করো: ∫[a→b] f(x) dx / (f(x) + f(a + b – x)) = (b – a)/2

৪. অবকল সমীকরণ (Differential Equation)

• y = ae⁻ˣ + beˣ + c সমীকরণ থেকে a, b, c অপনয়ন করে অবকল সমীকরণ গঠন করো।

• সমাধান করো: dy/dx = (1 + y²)/(xy), যখন y(1) = 0

• একটি শহরের জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার ৫% হলে, কত বছরে জনসংখ্যা দ্বিগুণ হবে?

৫. রৈখিক প্রোগ্রামবিধি (LPP)

• কার্যকর অঞ্চল (Feasible Region) ও কার্যকর সমাধান বলতে কী বোঝ?

• লেখচিত্রের সাহায্যে Z = 3x + 4y কে চরম করো যখন x – y ≥ 0, -x + 3y ≤ 3, x ≥ 0, y ≥ 0