Madhyamik 2017 Math Solution

  মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত (অঙ্ক) প্রশ্ন -উত্তর ||

Madhyamik 2017 Math Question Paper with Solution (Complete)

================================================================================

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করঃ    

(i) কোনো আসল ও তার বার্ষিক সবৃদ্ধি মূলের অনুপাত 25:28 হলে বার্ষিক সুদের হার –

(a) 3%

(b) 12%

(c ) 10 পূর্ণ 5/7 %

(d) 8%

Ans:

সমাধানঃ ধরি আসল x টাকা এবং বার্ষিক সুদের হার r% ।

(ii) কোন শর্তে ax²+bx+c =0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ শূন্য হবে ?

(a)a=0

(b) b=0

(c ) c = 0

(d) কোনোটিই নয়

Ans: (c ) c = 0

সমাধানঃax²+bx+c =0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ শূন্য

∴ a.0 +b.0+c =0

বা, c=0

∴ দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ শূন্য হওয়ার শর্ত হল c =0

(iii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুটির সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা –

(a) 2 টি

(b) 1 টি

(c ) 3 টি

(d) 4 টি

Ans: (d) 4 টি

(iv) sinϴ= cosϴ হলে 2ϴ -এর মান হবে –

(a) 30°

(b) 60°

(c ) 45°

(d) 90°

Ans: (d) 90°

সমাধানঃ

sinϴ= cosϴ

বা, sinϴ / cosϴ=1

বা, tanϴ =1 =tan45°

বা, ϴ = 45°

∴ 2ϴ = 2✕45° =90°

Madhyamik 2017 Math Solution 

মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর

(v) একটি শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুন হলে , শঙ্কুটির আয়তন হয় পূর্বের শঙ্কুর আয়তনের –

(a) 3 গুন

(b) 4 গুন

(c ) 6 গুন

(d) 8 গুন

Ans: (d) 8 গুন

সমাধানঃ

 ধরি , শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক ।

∴ শঙ্কুর আয়তন = 1/3 π r²h ঘনএকক

আবার শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতা প্রত্যেকে দ্বিগুন হলে পরিবর্তিত ব্যাসার্ধ হবে 2r একক এবং পরিবর্তিত উচ্চতা হবে 2h একক

এখন শঙ্কুটির আয়তন = 1/3 π (2r)² (2h) ঘনএকক = 8✕(1/3 π r²h) ঘনএকক

∴ এখন শঙ্কুটির আয়তন পূর্বের শঙ্কুর আয়তনের তুলনায় 8 গুন বৃদ্ধি পাবে ।

(vi) 2,8,2,3,8,5,9,5,6 সংখ্যাগুলির মধ্যমা –

(a) 8

(b) 6.5

(c ) 5.5

(d) 5

Ans: (d) 5

সমাধানঃ

2,8,2,3,8,5,9,5,6 সংখ্যাগুলিকে ছোট থেকে বড় হিসেবে সাজিয়ে পাই ,

2,2,3,5,5,6,8,8,9

এক্ষেত্রে n = 9 (বিজোড় সংখ্যা )

∴ নির্ণেয় মধ্যমা

2. শূন্যস্থান পূরণ করঃ

(i) কোনো মূলধনের বার্ষিক শতকরা একই সুদের হারে _________ বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পরিমাণ সমান ।

Ans: এক ।

(ii) ax²+bx+c =0(a¹0) দ্বিঘাত সমীকরণের b² -4ac হলে বীজদ্বয় বাস্তব ও _________হবে ।

Ans: সমান ।

(iii) দুটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের পরিমাপ সমানুপাতে থাকলে ত্রিভুজ দুটি ___________ হবে ।

Ans: সদৃশ ।

(iv) cos²ϴ-sin²ϴ= 1/X হলে , cos⁴ϴ -sin⁴ϴ= __________

Ans: 1/X

সমাধানঃ cos⁴ϴ -sin⁴ϴ = (cos²ϴ+sin²ϴ)(cos²ϴ-sin²ϴ) = 1/X

(v) একটি নিরেট অর্ধ- গোলোকের সমতল সংখ্যা _________ ।

Ans: একটি ।

(vi) x₁,x₂,x₃,………,x_n এই n সংখ্যক সংখ্যার  গড় x̅   হলে , Kx₁ ,Kx₂,Kx₃,……. ,Kx_n  এর গড় __________ ।

Ans: k x̅   

সমাধানঃ

3. সত্য বা মিথ্যা লেখোঃ

(i) A 10000 টাকা দিয়ে ব্যাবসা শুরু করার 6 মাস পরে B 20000 টাকা দিল । বৎসরান্তে তাদের লভ্যাংশের পরিমাণ সমান হবে ।

উত্তরঃ সত্য ।

সমাধানঃ A ও B এর মূলধনের অনুপাত

= (10000✕12): (20000✕6)

= 120000: 120000

= 1:1

এখন যেহেতু মূলধনের অনুপাত = লভ্যাংশের অনুপাত

∴ A ও B এর লভ্যাংশের অনুপাতও হবে 1:1 । সুতরাং A ও B এর লভ্যাংশের পরিমাণ সমান হবে ।

(ii) x = 2+√3 হলে, x + 1/x  এর মান হবে 2√3

Ans: মিথ্যা ।

সমাধানঃ    x = 2+√3

(iii) 7 সেমি. ও 3 সেমি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুটি বৃত্ত বহিঃস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্র দ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 4 সেমি. হবে ।

Ans: মিথ্যা ।

(iv) 0° < ϴ< 90° হলে , sinϴ> sin²ϴ হবে ।

Ans: সত্য ।

(v) একটি অর্ধগোলোকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 36π বর্গ সেমি হলে উহার ব্যাসার্ধ 3 সেমি. হবে ।

Ans: মিথ্যা ।

সমাধানঃ একটি অর্ধগোলোকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 36π ।

∴ 3πr² =36π

বা, r² =12

বা, r = √12

∴ ব্যাসার্ধ √12 সেমি ।

(vi) ওজাইভ দুটির ছেদবিন্দু থেকে x অক্ষের উপর লম্ব টানলে , x অক্ষ ও লম্বের ছেদবিন্দুর ভুজই হল মধ্যমা ।

Ans: সত্য ।

Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাওঃ

(i) r% হার চক্রবৃদ্ধি সুদে কোনো মূলধন 8 বছরে দ্বিগুন হলে কত বছরে 4 গুন হবে

সমাধানঃধরি , মূলধনের পরিমাণ x টাকা ।

এখন x টাকা r% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 8 বছরে দ্বিগুন হয় ।

বা, n =16

∴ 16 বছরে ওই মূলধন 4 গুন হবে ।

(ii) কোনো এক ব্যাবসায় A এর মূলধন B এর মূলধনের দেড়গুণ । ওই ব্যাবসায় বৎসরান্তে B 1500 টাকা লভ্যাংশ পেলে , A কত টাকা লভ্যাংশ পাবে ?

সমাধানঃ  ধরি , B এর মূলধন x টাকা ।

ধরি , A এর লভ্যাংশ y টাকা ।

যেহেতু মূলধনের অনুপাত এবং লভ্যাংশের অনুপাত সমান

∴ 3:2 = y :1500

বা, 2y = 4500

বা, y = 4500/2

বা, y = 2250

∴ A  2250 টাকা লভ্যাংশ পাবে ।

(iii) সমাধান না করে p এর যে সকল মানের জন্য x² +(p-3)x+p=0 সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ আছে তা নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ  প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণকে ax²+bx+c =0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই , a = 1 , b = (p-3) এবং c = p

যেহেতু দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান

∴ b² -4ac =0

বা, (p-3)² -4(1)(p) =0

বা, p² – 6p +9 -4p =0

বা, p² -10p +9 = 0

বা, p² -9p –p +9=0

বা, p(p-9) -1(p-9) =0

বা, (p-9)(p-1) =0

দুটি রাশির গুনফল শূন্য

∴ হয়, (p-9)=0

বা, p =9

অথবা , (p-1) =0

বা, p =1

∴ p=1 এবং p = 9

উত্তরঃ P এর মান 1 বা 9 হলে প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে ।

(iv) x ∝ yz  এবং y ∝zx হলে , দেখাও যে , z (≠0) একটি ধ্রুবক ।

সমাধানঃ x ∝ yz 

∴ x = Ayz [ Aএকটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

আবার , x ∝ zx

∴ y = Bzx [ B একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

∴ y = Bz (Ayz) [যেহেতু x = Ayz]

বা, y = ABz² y

বা, ABZ² =1

বা, z² = 1/AB

বা, z = 1/ √AB = ধ্রুবক

∴ z = ধ্রুবক [ প্রমাণিত ]

Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর

(v) দুটি সদৃশকোণী ত্রিভুজের পরিসীমা যথাক্রমে 20 সেমি. ও 16 সেমি. । প্রথম ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 9 সেমি. হলে দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য কত ?

সমাধানঃ  ধরা যাক, ত্রিভুজ ABC এবং ত্রিভুজ  DEF পরস্পর সদৃশ ।

∴ AB=kDE ,BC=kEF এবং AC=kDF

∴ AB+BC+AC=k(DE+EF+DF)

বা, 20 = k(16) [ যেহেতু ত্রিভুজ ABC এবং ত্রিভুজ DEF এর পরিসীমা যথাক্রমে 20 সেমি. এবং 16 সেমি. ]

∴ দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য 7.2 সেমি.।

Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর

(vi) ∆ABC এর ∠ABC =90° , AB =5সেমি. , BC=12 সেমি. হলে ওই ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধ কত ?

∴ ওই ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = 13/2 সেমি. = 6.5 সেমি.।

(vii)ABC ত্রিভুজের AB=(2a-1) সেমি. ,AC= 2√(2a) সেমি. এবং BC=(2a+1) সেমি. হলে, ∠BAC এর মান কত ?

সমাধানঃ AB²+AC² = (2a-1)²+{2√(2a)}² = 4a²-4a+1+8a= 4a²+4a+1=(2a+1)²=BC²

∴ AB²+AC² = BC²  [ পিথাগোরাসের উপপাদ্য ]

∴ ABC সমকোণী ত্রিভুজ যার A সমকোণ ।

∴ ∠BAC=90°

(viii) x = asecϴ ,y = btanϴ হলে , x ও y এর ϴ বর্জিত সম্পর্ক নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ

x = asecϴ

∴ x/a = secϴ

y = btanϴ

∴ y/b =tanϴ

যেহেতু , sec²ϴ -tan²ϴ =1

(ix) tan(ϴ+15°) = √3 , হলে , sinϴ+cosϴ এর মান হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ tan(ϴ+15°) = √3

বা, tan(ϴ+15°) = tan60°

বা, (ϴ+15°) = 60°

বা, ϴ = 60°-15°

বা, ϴ= 45°

∴ sinϴ+cosϴ

=sin45°+cos45°

∴ sinϴ+cosϴ = √2

(x) একটি গোলোকের ব্যাস অপর গোলোকের ব্যাসের দ্বিগুন । যদি বড় গোলোকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সংখ্যামান ছোট গোলোকটির আয়তনের সংখ্যামানের সমান হয় , তবে ছোট গোলোকটির ব্যাসার্ধ কত ?

সমাধানঃ ধরি , বড় গোলোকটির ব্যাস 2R একক এবং ছোট গোলোকটির ব্যাস 2r একক ।

∴ 2R = 2(2r)

বা, R = 2r

বড় গোলোকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πR² বর্গ একক ।

শর্তানুসারে ,

বা, 48πr² = 4πr³

বা, r³ / r²  = 48 / 4

বা, r = 12

∴ ছোট গোলোকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 12 একক ।

(xi) একটি আয়তঘনকের তলসংখ্যা x , ধার সংখ্যা y , শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা z এবং কর্ণের সংখ্যা p হলে , x-y+z+p  -এর মান কত ?

সমাধানঃ একটি আয়তঘনকের তলসংখ্যা x , ধার সংখ্যা y , শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা z এবং কর্ণের সংখ্যা p । ∴ x = 6 ,y = 8 , z = 4 এবং p = 4

∴ x-y+z+p  = 6-8+4+4 = 6

(xii) যদি 11 ,12,14, x-2,x+4 ,x+9,32,38,47 রাশিগুলির ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজানো এবং তাদের মধ্যমা 24 হলে , x এর মান নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ  রাশিগুলির সংখ্যা (n) = 9

∴ x+4 = 24

বা, x = 24-4

বা, x =20

∴ x = 20

5.

(i) বার্ষিক 4% হার সুদে কত টাকার 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের অন্তর 80 টাকা হবে ।

সমাধানঃ ধরি , বার্ষিক 4% হার সুদে x টাকার 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের অন্তর 80 টাকা হবে ।

বার্ষিক 4% হার সুদে x টাকার 2 বছরের  চক্রবৃদ্ধি সুদ

বার্ষিক 4% হার সুদে x টাকার 2 বছরের সরল সুদ

∴বার্ষিক 4% হার সুদে 50000 টাকার 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের অন্তর 50000 টাকা ।

Madhyamik 2017 Math Solution |

মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|

মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর

=======================================================================

(ii) A,B ,C যৌথ ভাবে 1,80,000 টাকা দিয়ে একটি ব্যাবসা শুরু করল । A ,B এর থেকে 20000 টাকা বেশী দিল । লাভের পরিমাণ 10800 টাকা ত্যাদের মধ্যে ভাগ করে দাও ।

সমাধানঃ ধরি , C এর মূলধনের পরিমাণ x টাকা ।

∴ B এর মূলধনের পরিমাণ = (x+20000) টাকা এবং A এর মূলধনের পরিমাণ = (x+20000+20000) টাকা = (x+40000) টাকা ।

∴ x+x+20000 +x+40000 =180000

বা, 3x+60000 =180000

বা, 3x = 180000-60000

বা, 3x = 120000

বা, x = 120000/3

বা, x = 40000

∴ A,B ও C এর মূলধনের অনুপাত

= (40000+40000) : (40000+20000) : 40000

= 80000 :60000 :40000

= 4:3:2

∴ A এর লাভের পরিমাণ 4800 টাকা , B এর লাভের পরিমাণ 3600 টাকা এবং C এর লাভের পরিমাণ 2400 টাকা ।

Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর

6.

দুটি রাশির গুনফল শূন্য

∴ হয় (x+a)=0

বা, x = -a

অথবা (x+b)=0

বা, x = -b

∴ নির্ণেয় সমাধান x = -a এবং x = -b

(ii) একটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যার পাঁচগুন ,তার বর্গের দ্বিগুন অপেক্ষা 3 কম হলে সংখ্যাটি কত ?

সমাধানঃ ধরি , ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাটি হল x ।

শর্তানুসারে ,

5x = 2x²-3

বা, 2x² -5x-3 =0

বা, 2x² – (6-1)x-3=0

বা, 2x²-6x+x-3=0

বা, 2x(x-3)+1(x-3) =0

বা, (x-3)(2x+1) =0

দুটি রাশির গুনফল শূন্য

∴ (x-3)=0

বা, x = 3

অথবা , (2x+1)=0

বা, 2x = -1

বা, x = -1/2

যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা

∴ x = 3

সুতরাং সংখ্যাটি হল 3 ।

7.

= √3-√2 –(2√3+2-3-√3)+(3√2+3-4-2√2)

= √3-√2-(√3-1) + (√2 -1)

= √3 -√2 -√3+1+√2-1

= 0

(ii) একটি হোস্টেলের ব্যায় আংশিক ধ্রুবক ও আংশিক ওই হোস্টেলের আবাসিকদের সংখ্যার সঙ্গে সরলভেদে আছে । আবাসিকদের সংখ্যা 120 হলে ব্যায় 2000 টাকা এবং আবাসিকদের সংখ্যা 100 হলে ব্যায় 1700 টাকা হয় । ব্যায় 1880 টাকা হলে হোস্টেলের আবাসিকদের সংখ্যা কত হবে ?

সমাধানঃ ধরি , হোস্টেলের আবাসিকদের সংখ্যা x জন এবং ধ্রুবক অংশের পরিমাণ K টাকা এবং ব্যায়ের বাকি অংশ y টাকা  এবং মোট খরচ A টাকা ।

এখন যেহেতু আংশিক ব্যায় হোস্টেলের আবাসিকদের সংখ্যার সঙ্গে সরলভেদে আছে

                  ∴  y ∝ x

বা, y = p x [ যেখানে p একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

∴ মোট খরচ A = K + px —-(i) 

এখন x = 120 হলে A = 2000 টাকা ।

∴ 2000 = K+120p —- (ii)

আবার , x = 100 হলে A = 1700 টাকা

∴ 1700 = K+100p —-(iii)

(ii) ও (iii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই ,

20p = 300

বা, p = 300/20

বা, p = 15

P এর প্রাপ্ত মান (ii) নং সমীকরনে বসিয়ে পাই ,

K + 120(15) = 2000

বা, K + 1800 = 2000

বা, K = 2000-1800

বা, K = 200

∴ (i) নং সমীকরন থেকে পাই ,

A = 200+ 15x

এখন মোট খরচ A = 1880 টাকা হলে ,

1880 = 200+15x

বা, 15x = 1680

বা, x = 1680 / 15

বা, x = 112

∴ নির্ণেয় আবাসিক সংখ্যা 112 জন ।

সমাধানঃ

বা, a(c+a) = b(b+c)

বা, ac+a² = b²+bc

বা, a² – b² +ac –bc=0

বা, (a+b)(a-b) +c(a-b) =0

বা, (a-b)(a+b+c) = 0

∴হয়  (a+b+c) = 0

অথবা (a-b) = 0

বা, a = b —(i)

বা, b(a+b) = c(c+a)

বা, ba +b² = c² +ca 

বা, b² –c² +ba – ca =0

বা, (b+c)(b-c) + a(b-c) =0

বা, (b-a)(b+c+a) =0

∴হয়  (a+b+c) = 0

অথবা (b-c) = 0

বা, b = c —(ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই , a =b =c

এখন , a/(b+c) = a/(a+a) = a/2a = 1/2

এবং b/(c+a) = b/(b+b) =b/2b =1/2

এবং c/(a+b) = c/(c+c) = c/2c =1/2

আবার , (a+b+c) = 0 হলে ,

(a+b) = – c , (b+c) =- a এবং  (c+a) = -b  হয় ।

সুতরাং প্রতিটি অনুপাতের মান ½ অথবা -1 ( প্রমাণিত ) ।

সমাধানঃ

(b+c-a)x = (c+a-b)y = (a+b-c)z = 2

∴ (b+c-a)x = 2

এবং (c+a-b)y=2

9.

(i) যেকোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে প্রমাণ কর যে প্রথম বাহুর বিপরীত কোণটি সমকোণ হবে ।

দশম শ্রেণির গণিতের পাঠ্য বই (গণিত প্রকাশ )-এর উপপাদ্য 50 দেখ ।

(ii) কোনো বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় তাদের স্পর্শবিন্দু দুটির সঙ্গে সংযোজক সরলরেখাংশ দুটির দৈর্ঘ্য সমান ।

দশম শ্রেণির গণিতের পাঠ্য বই (গণিত প্রকাশ )-এর উপপাদ্য 41 দেখ ।

10.

(i) প্রমাণ করো যে , কোনো চতুর্ভুজের কোণ চারটির সমদ্বিখণ্ডক গুলি পরস্পর মিলিত হয়ে যে চতুর্ভুজ গঠন করে , সেটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ।

প্রদত্তঃ ABCD একটি চতুর্ভুজের AR,BP,CP ও DR যথাক্রমে ∠A,∠B,∠C ও ∠D এর সমদ্বিখন্ডক পরস্পর মিলিত হয়ে PQRS চতুর্ভুজ উৎপন্ন করেছে ।

প্রমাণ করতে হবে যেঃ PQRS একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ।

প্রমানঃ ∆ARD এর , ∠ARD+∠RDA+∠DAR =180º

বা, ∠ARD+ ∠A/2 +∠D/2 = 180°—(i)

আবার , ∆BPC -এর , ∠BPC+∠PCB+∠CBP =180º

বা, ∠BPC+∠C/2 +∠B/2 =180°—(ii)

(i) ও (ii) যোগ করে পাই ,

∠ARD+ ∠A/2 +∠D/2 + ∠BPC+∠C/2 +∠B/2 =180°+180°

∠ARD+∠BPC+ 1/2(∠A+∠B+∠C+∠D)=360°

বা, ∠ARD+∠BPC =360º-180º =180º

∴ ∠QRS +∠QPS =180°

∴ PQRS চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত কোণ সম্পূরক

∴ PQRS একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ (প্রমাণিত)।

(ii) ত্রিভুজ ABC এর পরিকেন্দ্র O এবং OD ⊥ BC , প্রমাণ কর যে ∠BOD =∠BAC ।

ধরি , ত্রিভুজ ABC এর পরিকেন্দ্র O এবং OD ⊥ BC , প্রমাণ করতে হবে যে , ∠BOD =∠BAC

অঙ্কনঃ B,O এবং C,O যুক্ত করা হল ।

প্রমাণঃ BC চাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC এবং পরিধিস্থ কোণ ∠BAC

∴ ∠BOC =2 ∠BAC —–(i)

এখন ∆BOD ও ∆COD এর মধ্যে

OB =OC = বৃত্তের ব্যাসার্ধ

∠ODB = ∠ODC [ উভয়ই সমকোণ ]

এবং OD সাধারণ বাহু ।

∴ ∆BOD ≅ ∆COD

∴ ∠BOD = ∠COD = ½ ∠BOC = ½ .2∠BAC  [(i) নং থেকে ]

                                                  = ∠BAC

∴ ∠BOD = ∠BAC [প্রমাণিত ]

11.(i) 6 সেমি. বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করো এবং ওই ত্রিভুজটির অন্তবৃত্ত অঙ্কন করো । (কেবলমাত্র অঙ্কন চিহ্ন দিতে হবে )

সমাধানঃ

(ii) 8 সেমি. ও 6 সেমি. বাহুবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র অঙ্কন করো এবং ওই আয়তক্ষেত্রের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করো । (কেবলমাত্র অঙ্কন চিহ্ন দিতে হবে )

সমাধানঃ

ABCD আয়তক্ষেত্রের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রটি হল CGHI।

12.

(i)কোনো চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে π/3 , 5π/6 , 90° হলে , চতুর্থ কোণটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।

আমরা জানি , sin²ϴ +cos²ϴ =1

∴ sinϴ-cosϴ

(i) দুটি স্তম্ভের দূরত্ব 150 মিটার । একটির উচ্চতা অন্যটির তিনগুন । স্তম্ভদ্বয়ের পাদদেশ সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দু থেকে তাদের শীর্ষের উন্নতি কোণদ্বয় পরস্পর পূরক । ছোট স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় কর ।

সমাধানঃমনে করি , বৃহত্তম স্তম্ভটি PQ এবং অপর স্তম্ভটি AB .

এখানে PQ ও AB পাদদেশের সংযোজক রেখাংশ BQ –এর মধ্যবিন্দু C তে স্তম্ভ দুটির শীর্ষের উন্নতি কোণ যথাক্রমে ϴ এবং (90° -ϴ ) .

অর্থাৎ ∠PCQ = ϴ এবং ∠ACB = (90°-ϴ). আবার BQ = 150 মিটার ।

∴ BC = QC= 75 মিটার ।

এখন ∆PCQ এর ∠PQC =90° এবং ∠PCQ = ϴ

∴ tanϴ= PQ/QC

বা, PQ = QC tanϴ

বা, 3AB = 75 tanϴ [ যেহেতু PQ = 3AB ]

বা, AB = 25 tanϴ —-(i)

আবার , ∆ABC –এর ∠ABC =90° এবং ∠ACB =(90°-ϴ)

∴ tan(90°-ϴ) =AB/BC 

বা, cotϴ = AB/BC

বা, AB = BC cotϴ

বা, AB = 75cotϴ —-(ii)

এখন (i) ও (ii) নং সমীকরণ গুন করে পাই ,

AB² = 25tanϴ ✕ 75 cotϴ

বা, AB² = 25✕25✕3

বা, AB = 25√3

∴ PQ = 3AB =3 ✕25√3 = 75√3

সুতরাং বড় স্তভের উচ্চতা 75√3 মিটার এবং ছোট স্তম্ভের উচ্চতা 25√3 মিটার ।

(ii) 10. একটি লাইট হাউস থেকে তার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত দুটি জাহাজের মাস্তুলের গোড়ার অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30° হয় এবং কাছের জাহাজের মাস্তুল যদি লাইট হাউস থেকে 150 মিটার দুরত্বে থাকে ,তাহলে দূরের জাহাজের মাস্তুল লাইট হাউস থেকে কত দূরত্বে রয়েছে ?

সমাধানঃ ধরাযাক , AB হল লাইট হাউসের উচ্চতা । A বিন্দু থেকে C বিন্দুতে এবং D বিন্দুতে অবস্থিত জাহাজের মাস্তুলের অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30° । আবার লাইট হাউস থেকে কাছের জাহাজের দূরত্ব 150 মিটার ।

∴ BC =150 মিটার ।

AE || BD অঙ্কন করা হল

∴ ∠EAC = 60°এবং ∠EAD = 30°

আবার , ∠ACB = ∠EAC [একান্তর কোণ] এবং ∠EAD = ∠ADB [একান্তর কোণ ]

∴ ∠ACB =60° এবং ∠ADB = 30°

ABC ত্রিভুজে ∠ACB = 60° এবং ∠ABC = 90°

বা, AB = 150√3—(i)
আবার , ABD ত্রিভুজে ∠ABD =90° এবং ∠ADB = 30°

বা, 150+CD= 450

বা, CD = 300

∴ BD = BC+CD = 150+300=450মিটার

∴ লাইট হাউস থেকে দূরের জাহাজের দূরত্ব 450 মিটার ।

14.

(i) 4.2 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট ঘনক থেকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে যে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার আয়তন নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ 4.2 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট ঘনক থেকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে যে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = 4.2 ডেসিমি, ∴ শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ (r ) = 4.2/2 ডেসিমি. = 2.1 ডেসিমি.

আবার , শঙ্কুর উচ্চতা ,ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্যের সাথে সমান

∴ শঙ্কুরটির উচ্চতা (h) = 4.2 ডেসিমি.

∴ শঙ্কুটির আয়তন

= 19.404 ঘন ডেসিমি.

∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন 19.404 ঘন ডেসিমি.।

(ii) 9 সেমি. অন্তর্ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি অর্ধ গোলাকার পাত্র সম্পূর্ণ জলপূর্ণ আছে । এই জল 3 সেমি. ব্যাস এবং 4 সেমি. উচ্চতা বিশিষ্ট চোঙাকৃতি বোতলে ভর্তি করে রাখা হবে । পাত্রটি খালি করতে কতগুলি এইরূপ বোতল দরকার তা নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ অর্ধ গোলকের ব্যাসার্ধ (R ) = 9 সেমি.

∴ পাত্রের আয়তন

চোঙাকৃতি বোতলের ব্যাস 3 সেমি. । 

∴ বোতলের ব্যাসার্ধ (r ) = 3/2 সেমি.

বোতলের উচ্চতা (h) = 4 সেমি.

∴ চোঙাকৃতি বোতলের আয়তন

= πr²h ঘন সেমি.

ধরি , পাত্রটি খালি করতে x টি বোতলের প্রয়োজন হবে ।

∴পাত্রের পাত্রের জলের আয়তন = x টি বোতলের জলের আয়তন

বা, 486 = 9x

বা, x = 486/9

বা, x = 54

∴ পাত্রটি খালি করতে 54 টি বোতলের প্রয়োজন হবে ।

(iii) একটি ঢাকনা সমেত চোঙাকৃতি জলের ট্যাঙ্কের ভূমির ক্ষেত্রফল 616 বর্গমিটার এবং উচ্চতা 21 মিটার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ ধরি , চোঙাকৃতি জলের ট্যাঙ্কের ভূমির ব্যাসার্ধ r মিটার

∴ ভূমির ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক

∴ πr² = 616

বা, r ² = 196

বা, r² = (14)²

বা, r = 14

∴ চোঙাকৃতি জলের ট্যাঙ্কের ব্যাসার্ধ 14মিটার ।

চোঙাকৃতি জলের ট্যাঙ্কের উচ্চতা (h) = 21 মিটার ।

∴ সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

= (2πr ² +2πrh) বর্গ মিটার

= (1232 + 1848) বর্গ মিটার

= 3080 বর্গ মিটার ।

∴ ঢাকনা সহ চোঙাকৃতি ট্যাঙ্কের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 3080 বর্গ মিটার ।

15.

(i) নীচের তথ্যের মধ্যমা 32 হলে , xও y এর মান নির্ণয় কর যখন পরিসংখ্যার সমষ্টি 100 .

শ্রেণি সীমানা	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
পরিসংখ্যা	10	x	25	30	y	10

সমাধানঃশ্রেণিটির পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকাটি হল

শ্রেণি –সীমানা	পরিসংখ্যা	ক্রম যৌগিক পরিসংখ্যা
0-10	10	10
10-20	X	10+x
20-30	25	35+x
30-40	30	65+x
40-50	Y	65+x+y
50-60	10	75+x+y=n

এখানে n = 100 ( প্রদত্ত)

শর্তানুসারে ,

75+x+y = 100

বা, x+y = 25 —-(i)

আবার যেহেতু মধ্যমা = 32

সুতরাং মধ্যমা শ্রেণিটি হল (30-40)

বা, 15-x = 6

বা, x = 9

(i) নং সমীকরণে x এর মান বসিয় পাই ,

9 +y =25

বা, y = 25-9

বা, y = 16

∴ x = 9 এবং y = 16

(ii) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করঃ

শ্রেণি সীমানা	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30	30-35
পরিসংখ্যা	5	12	18	28	17	12	8

সমাধানঃ উপরের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু শ্রেণি (15-20)

= 15+2.38 (প্রায়)

= 17.38 ( প্রায় )

(iii) নীচের তথ্যের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা ( বৃহত্তর সূচক ) তালিকা তৈরি করে ছক কাগজে ওজাইভ অঙ্কন করো ।

শ্রেণি সীমানা	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30
পরিসংখ্যা	4	10	15	8	3	5

সমাধানঃ

শ্রেণি	বৃহত্তরসূচকক্রমযৌগিকপরিসংখ্যা
0 বা 0 এর বেশী	45
5 বা 5 এর বেশী	41
10 বা 10 এর বেশী	31
15বা 15 এর বেশী	16
20 বা 20 এর বেশী	8
25 বা 25 এর বেশী	5

X অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1 টি বাহুর দৈর্ঘ্য = 1 একক এবং y অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1 টি বাহুর দৈর্ঘ্য = 1 একক ধরে (0,45) ,(5,41) ,(10,31) ,(15,16) ,(20,8) ,(25,5) বিন্দুগুলি স্থাপন করে ও যুক্ত করে বৃহত্তর সূচক ওজাইভ পাওয়া গেল ।