Madhyamik 2018 Math Question Solution

Madhyamik 2018 Math Question Solution

মাধ্যমিক ২০১৮ গণিত সমাধান

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করঃ

(i) বার্ষিক 10% সরল সুদের হারে a টাকার b মাসের সুদঃ

Madhyamik 2018 Math Question Solution/মাধ্যমিক ২০১৮ গণিত সমাধান

(ii) যদি x ∝ y হয় ,তাহলে

(a) x² ∝ y³

(b) x³ ∝ y²

(c ) x ∝ y²

(d) x² ∝ y²  

Ans:  (d) x² ∝ y² 

 

(iii) ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠A =100° হলে  ∠C এর মান-

(a) 50°

(b) 200°

(c ) 80°

(d) 180°

Ans: (c ) 80°

সমাধানঃ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠A+∠C = 180° [ যেহেতু বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক ]

∴ ∠C = 180°-∠A

বা, ∠C = 180°-100°

বা, ∠C = 80°

Madhyamik 2018 Math Question Solution/মাধ্যমিক ২০১৮ গণিত সমাধান

(iv) 7π/12 এর ষষ্টিক পদ্ধতিতে মান হলঃ

(a) 115°

(b) 150°

(c) 135°

(d) 105°

Ans: (d) 105°

 

(v) একটি ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য d একক হলে a এবং d –এর সম্পর্ক হবেঃ

(a) √2a = d

(b) √3a = d

(c ) a =√3d

(d) a =√2 d

Ans: (b) √3a = d

সমাধানঃ

একটি ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য d একক হলে d = a√3

(vi) 6,7,x,y,16 সংখ্যা গুলির গড় 9 হলেঃ

(a) x+y = 21

(b) x+y=17

(c ) x-y=21

(d) x-y=19

Ans: (b) x+y=17

সমাধানঃ 6,7,x,8,y,16 সংখ্যাগুলির গড় 9

বা, x+y+37 = 54

বা, x+y = 17

বা, x+y = 17

2. শূন্যস্থান পূরণ কর (যে কোনো 5 টি ):

(i) বার্ষিক r% হার সরল সুদের হারে কোনো মূলধনের n বছরের সুদ pnr /25 টাকা হলে মূলধনের পরিমাণ __________ টাকা হবে ।

Ans:

সমাধানঃ ধরি , মূলধনের পরিমাণ x টাকা

∴ মূলধনের পরিমাণ 4P টাকা ।

(ii) (a-2)x² +3k+5=0 সমীকরণটিতে a- এর মান _______ এর জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না ।

Ans: 2

সমাধানঃ  এক্ষেত্রে a =2 হলে দ্বিঘাত সমীকরণটির x² এর সহগ শূন্য হয় ।

(iii) ABCD একটি বৃত্তস্থ সামান্তরিক হলে ∠A এর মান হবে ________ ।

Ans: 90°

সমাধানঃ যেহেতু বৃত্তস্থ সামন্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র ।

(iv) tan35° tan55° =sinϴ হলে , ϴ এর সর্বনিম্ন মান ________ হবে ।

Ans: 90°

সমাধানঃ

tan35° tan55° =sinϴ

বা, tan35° tan(90°-35°) = sinϴ

বা, tan35° cot35° = sinϴ

বা, sinϴ = 1 =sin90°

বা, ϴ =90°

(v) একমুখ কাটা একটি পেনসিলের আকার চোঙ ও ________ এর সমন্বয় ।

Ans:  শঙ্কু।

(vi) মধ্যগামীতার মাপকগুলি হল গড় , মধ্যমা ও ________ ।

Ans: সংখ্যাগুরুমান।

(i) নির্দিষ্ট আসলের উপর সমান হারে সুদ হলে 2 বছরের সরল সুদ , চক্রবৃদ্ধি সুদের  তুলনায় বেশি ।

উত্তরঃ মিথ্যা ।

(ii) x³y ,x²y² এবং xy³ ক্রমিক সমানুপাতী

উত্তরঃ সত্য ।

বা, x³y : x²y² :: x²y² : xy³

∴ x³y ,x²y² এবং xy³ ক্রমিক সমানুপাতী ।

(iii) অর্ধ বৃত্ততাংসস্থ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বৃত্তাংসস্থ কোণ স্থুলকোণ ।

উত্তরঃ মিথ্যা ।

(iv) sec²27° -cot²63° -এর সরলতম মান  1.

উত্তরঃ সত্য ।

সমাধানঃ

sec²27° -cot²63°

= sec²27° – cot² (90°-27°)

= sec² 27° -tan²27°

= 1

(v) একটি গোলকের ব্যাসার্ধ দ্বিগুন হলে গোলকটির আয়তন প্রথম গোলকের আয়তনের দ্বিগুন হবে ।

Ans: মিথ্যা ।

সমাধানঃ ধরি , গোলকের ব্যাসার্ধ r একক ।

গোলকের ব্যাসার্ধ দ্বিগুন হলে গোলকের পরিবর্তিত ব্যাসার্ধ হবে 2r একক ।

∴ এখন গোলকের আয়তন

= 8✕ প্রথম গোলকের আয়তন

∴ পরিবর্তিত গোলকের আয়তন ,প্রথম গোলকের আয়তনের 8 গুন হবে ।

(vi)

স্কোর	1	2	3	4	5
শিক্ষার্থী  সংখ্যা	3	6	4	7	5

বিভাজনটির সংখ্যাগুরু মান হল 3.

উত্তরঃ মিথ্যা ।

সমাধানঃ এক্ষেত্রে স্কোর 4 এর পরিসংখ্যা 7 যা সবথেকে বেশি ।

∴ সংখ্যাগুরু মান 4

Madhyamik 2018 Math Question Solution/মাধ্যমিক ২০১৮ গণিত সমাধান

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাওঃ

সমাধানঃ  ধরি , ওই ব্যাক্তির মূলধন x টাকা ।

∴ x টাকার 1 বছরের 4% হারে সুদ

∴ ওই ব্যাক্তির মূলধন 2400 টাকা ।

 

(ii) A এবং B যথাক্রমে 15000 টাকা ও 45000 টাকা দিয়ে একটি ব্যাবসা শুরু করল । 6 মাস পরে B লভ্যাংশ হিসেবে 3030 টাকা পেল । A-এর লভ্যাংশ কত ?

সমাধানঃ ধরি , A এর লভ্যাংশ x টাকা ।

∴ A এর মূলধন : B এর মূলধন = A এর লভ্যাংশ : B এর লভ্যাংশ

বা, 15000:45000 = x:3030

বা, 1:3 = x:3030

বা, 3x = 3030

বা, x = 3030/3

বা, x = 1010

∴ A এর লভ্যাংশ 1010 টাকা ।

(iv) কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় 2 ও -3 হলে সমীকরণটি লেখ ।

সমাধানঃ নির্ণেয় সমীকরণটি হবে

= X² – (বীজদ্বয়ের যোগফল )x + ( বীজদ্বয়ের গুনফল ) = 0

বা, X² –{2+(-3)}x +(2)(-3) =0

বা,  x² –(-x) -6 = 0

বা, x² +x -6=0

 

(v) ABC –এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে । যদি AP = 4 সেমি. , QC = 9 সেমি. এবং PB =AQ হয় তাহলে PB এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ 

ABC ত্রিভুজের BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC কে জথাক্রমে  P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে । ধরি , PB =AQ = x সেমি.

বা, x² = 36

বা, x² = (6)²

বা, x = 6

∴ PB = 6 সেমি.

(vi) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. । এবং O বিন্দু থেকে 13 সেমি দূরত্বে P একটি বিন্দু । PQ ও PR বৃত্তের দুটি স্পর্শক হলে PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল কত ?

সমাধানঃ

∆OPR ত্রিভুজে OR = 5 সেমি. ( বৃত্তের ব্যাসার্ধ ) , OP = 13 সেমি.

যেহেতু OR স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ ∴ OR ⊥ PR

∴ সমকোণী ত্রিভুজ ∆OPR থেকে পাই ,

OR²+PR²=OP²

বা, (5)2+PR²=(13)²

বা, PR² = 169-25

বা, PR² = 144

বা , PR²= (12)²

বা, PR = 12

যেহেতু , PR এবং PQ দুটি স্পর্শক এবং P বহিঃস্থ বিন্দু

∴ PR = PQ = 12 সেমি.

PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ ∆POR এর ক্ষেত্রফল + ত্রিভুজ ∆POQ এর ক্ষেত্রফল

= ½ ✕ 12 ✕ 5 + ½ ✕ 12 ✕ 5 বর্গ সেমি. [ ∵সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =½✕ ভুমি ✕ উচ্চতা ]

= (30+30) বর্গ সেমি.

= (30+30) বর্গ সেমি.

Madhyamik 2018 Math Question Solution/মাধ্যমিক ২০১৮ গণিত সমাধান

(vii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও CD  জ্যা  দুটি কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী AOB =60° এবং CD=6 সেমি. হলে , বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত ?

সমাধানঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও CD  জ্যা  দুটি কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী । ∴ AB = CD = 6 সেমি. ।

ত্রিভুজ AOB এর ,

∠AOB = 60°

আবার OA = OB [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

∴ ∠OAB =∠OBA = (180°-∠AOB)/2 = (180°-60°)/2 = 60°

সুতরাং AOB সমবাহু ত্রিভুজ ।

∴ OA=OB=AB = 6 সেমি.

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ 6 সেমি. ।

(viii) tanϴ+ cotϴ=2 হলে , tan⁷ϴ+cot⁷ϴ =?

সমাধানঃ

tanϴ+ cotϴ =2

বা, tan²ϴ +1 = 2tanϴ

বা, tan²ϴ -2tanϴ +1 =0

বা, (tanϴ-1) ² =1

বা, (tanϴ-1) =0

বা, tanϴ =1

∴ tan⁷ϴ+cot⁷ϴ = (1)⁷+(1)⁷ = 1+1=2

 

(ix) একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য  এবং স্তম্ভের দৈর্ঘ্যের অনুপাত √3 : 1 হলে , সূর্যের উন্নতি কোণ নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ

 ধরাযাক , পোস্টটির উচ্চতা AB এবং পোস্টের ছায়ার দৈর্ঘ্য BC এবং সূর্যের উন্নতি কোণ ϴ

বা, tan ϴ = tan30°

বা, ϴ = 30°

(x) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন সমান ও তাদের উচ্চতার অনুপাত 1:2 হলে , চোঙ দুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ ধরি , দুটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা যথাক্রমে h₁ একক এবং h₂  একক এবং ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r₁ একক এবং r₂ একক ।

∴ h₁ : h₂ = 1:2

যেহেতু লম্ববৃত্তাকার চোঙদুটির আয়তন সমান

∴ চোঙ দুটির ব্যাসার্ধের অনুপাত √2 : 1 ।

(xi) একটি নিরেট অর্ধ গোলকের আয়তন 144π ঘন সেমি. হলে , গোলকটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত ?

সমাধানঃ ধরি , অর্ধ গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি. ।

বা, r³ = 216

বা, r³ = (6)³

∴ r = 6

∴ 2r = 12

∴ অর্ধ গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 12 সেমি. ।

(xii) একটি পরিসংখ্যা বিভাজনের গড় 8.1 , ∑f_ix_i = 132+5k এবং ∑f_i = 20 হলে , K এর মান কত ?

সমাধানঃ

একটি পরিসংখ্যা বিভাজনের গড় 8.1

বা, 162 = 132+5k

বা, 5k = 162-132

বা, 5k = 30

বা, k = 30/5

বা, k = 6

∴ k এর মান 6

5.

(a) আমিনুর একটি ব্যাঙ্ক থেকে 64000 টাকা ধার নিয়েছে । যদি ব্যাঙ্কের সুদের হার প্রতি বছরে প্রতি টাকায়  2.5 পয়সা হয় , তবে ওই টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে ?

সমাধানঃ আসল (P) = 64000 টাকা ।

সময় (n) = 2 বছর ।

∴ চক্রবৃদ্ধি সুদ = 67240 টাকা – 64000 টাকা = 3240 টাকা ।

উত্তরঃ 2 বছর পর চক্রবৃদ্ধি সুদ হবে 3240 টাকা ।

(b) A ,B ও C 6000 টাকা ,8000 টাকা ও 9000 টাকা মূলধন নিয়ে একত্রে ব্যাবসা আরম্ভ করল । কয়েক মাস পর A আরও 2000 টাকা ব্যাবসায় লগ্নী  করল । বছরের শেষে মোট 30000 টাকা লাভ হল এবং C 10800 টাকা লভ্যাংশ পেল । A কখন আরও 3000 টাকা লগ্নী করল ?

সমাধানঃ ধরি , ব্যাবসা শুরু করার x মাস পরে A আরও 3000 টাকা লগ্নী করে ।

∴ A ,B ও C এর মূলধনের অনুপাত

= {(6000✕x)+(6000+3000)(12-x)}: (8000´12) : (9000´12)

= 6000x-9000x+108000 : 96000 : 108000

= 108000-3000x : 96000 : 108000

= 1000(108-3x) : 96000 : 108000

= (108-3x) : 96 :108

= (36-x) : 32 :36

প্রশ্নানুসারে ,

বা, 9(104-x) = 900

বা, 936 -9x =900

বা, -9x = 900-936

বা, -9x = -36

বা, x = -36/-9

বা, x = 4

∴ ব্যাবসা শুরুর 4 মাস পর A ব্যাবসায় 3000 টাকা লগ্নী করে ।

Madhyamik 2018 Math Question Solution/মাধ্যমিক ২০১৮ গণিত সমাধান

6.

(a) সমাধান করঃ

∴ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটি হল ,

 a² -5a+6 =0

বা, a² –(3+2)a+6=0

বা, a² -3a-2a+6 =0

বা, a(a-3)-2(a-3) =0

বা, (a-3)(a-2) =0

দুটি রাশির গুনফল শূন্য

∴ (a-3) =0

বা, a = 3

অথবা , (a-2) =0

বা, a = 2

∴ a= 2 এবং a = 3

বা, x+4 = 2x-8

বা, x-2x = -4-8

বা, -x = -12

বা, x = 12

বা, x+4 = 3x-12

বা, x-3x = -4-12

বা, -2x = -16

বা, x = -16/-2

বা, x = 8

নির্ণেয় সমাধান x = 12 এবং x = 8

Madhyamik 2018 Math Question Solution/মাধ্যমিক ২০১৮ গণিত সমাধান

(b) দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশী এবং অঙ্কদ্বয়ের গুনফল সংখাটির  চেয়ে 12 কম । সংখ্যাটির এককের অঙ্ক কী কী হতে পারে ?

সমাধানঃ  ধরি , সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক x

∴ সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক হবে (x+6)

সুতরাং সংখ্যাটি হবে = 10x+(x+6) = 11x+6

শর্তানুসারে ,

(11x+6) –x(x+6) = 12

বা, 11x+6 –x²-6x -12 =0

বা, 5x-x² -6 =0

বা, -x² +5x-6=0

বা, -(x²-5x+6) =0

বা, x² -5x+6 = 0

বা, x² –(3+2)x+6=0

বা, x² -3x-2x+6=0

বা, x(x-3)-2(x-3)=0

বা, (x-3)(x-2) = 0

দুটি রাশির গুনফল শূন্য

∴  (x-3) =0

বা, x = 3

অথবা

(x-2) =0

বা, x= 2

∴ দশকের অঙ্কগুলি হল (2+6) =8 বা (3+6)=9

∴ সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্কগুলি হবে 8 বা 9 ।

Madhyamik 2018 Math Question Solution/মাধ্যমিক ২০১৮ গণিত সমাধান

7.

Madhyamik 2018 Math Question Solution/মাধ্যমিক ২০১৮ গণিত সমাধান

(b) x ∝ y এবং y ∝ z হলে , প্রমাণ করোঃ (x²+y²+z²) ∝ (xy+yz+zx)

সমাধানঃ x ∝ y

∴ x = Ay [ A একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

আবার y ∝ z

∴ y = Bz [B একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

∴ x = Ay = A(Bz) = ABz = Cz [AB =C =অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

∴ x = Cz  এবং y =Bz

∴ (x²+y²+z²) ∝ (xy+yz+zx) [প্রমাণিত ]

 

সমাধানঃ

Madhyamik 2018 Math Question Solution/মাধ্যমিক ২০১৮ গণিত সমাধান

(b)x:a = y:b = z:c হলে প্রমান করি যে , (a²+b²+c²)(x²+y²+z²) = (ax+by+cz)²

ধরি , x:a = y:b = z:c = k  [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ x= ak , y=bk, z = ck

বামপক্ষঃ

ডানপক্ষঃ

(ax+by+cz)²

= {a(ak)+b(bk)+c(ck)}²

= (a²k+b²k+c²k)²

= k²(a²+b²+c²)² 

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [ প্রমানিত ]

 

9.

(a) প্রমাণ কর একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অংকন করলে লম্বের দুপাশে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় ,তারা মূল ত্রিভুজের সঙ্গে সদৃশ এবং পরস্পর সদৃশ ।

দশম শ্রেণির গণিত পাঠ্য বই (গণিত প্রকাশ ) -এর 48 নম্বর উপপাদ্য দেখ ।

(b) প্রমান কর কোনো বৃত্তের স্পর্শক ও স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্ব ।

দশম শ্রেণির গণিত পাঠ্য বই (গণিত প্রকাশ ) -এর 40 নম্বর উপপাদ্য দেখ ।

10.

(a) ABC ত্রিভুজের BC বাহুর ওপর AD লম্ব এবং AD² = BD.DC;প্রমাণ কর যে ∠BAC একটি সমকোণ ।

Madhyamik 2018 Math Question Solution/মাধ্যমিক ২০১৮ গণিত সমাধান

(b) একটি সরলরেখা দুটি এক কেন্দ্রীয় বৃত্তের একটিকে A ও B বিন্দুতে এবং অপরটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমাণ কর AC =BD .

চিত্রে O কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্তকে একটি সরলরেখা যথাক্রমে A,B এবং C,D বিন্দুতে ছেদ করেছে ।

প্রমান করতে হবে যে AB = CD ।

অঙ্কনঃ O থেকে AB এর ওপর একটি লম্ব OP অঙ্কন করা হল ।

প্রমানঃ যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্রগামী কোনও জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা টিকে সমদ্বিখন্ডিত করে ।  তাই P ,AB এবং CD উভয়ের মধ্যবিন্দু ।

∴ AP=PB এবং CP=PD

সুতরাং AP-CP= PB-PD

∴ AC=DB (প্রমানিত)

11.

(a) 4 সেমি. ও 2 সেমি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুটি বৃত্ত অংকন কর যাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 7 সেমি. । ওই বৃত্ত দুটির একটি সরল সাধারণ স্পর্শক অংকন কর । (কেবলমাত্র অংকন চিহ্ন দিতে হবে )

সমাধানঃ

FG হল নির্ণেয় সরল সাধারণ স্পর্শক ।

Madhyamik 2018 Math Question Solution/মাধ্যমিক ২০১৮ গণিত সমাধান

(b) একটি ত্রিভুজ অংকন কর যাদের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 9 সেমি. ও 7 সেমি. এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60° ; ত্রিভুজটির অন্তবৃত্ত অঙ্কন কর ।(কেবলমাত্র অঙ্কন চিহ্ন দিতে হবে )।

সমাধানঃ

 

12.

(a) একটি বৃত্তের 220 সেমি. দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে , বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ 210 সেমি. ।

Madhyamik 2018 Math Question Solution/মাধ্যমিক ২০১৮ গণিত সমাধান

∴ tan²ϴ = 1/3

 

 

13.

(a) সূর্যের উন্নতি কোণ 45° থেকে বৃদ্ধি পেয়ে 60° হলে , একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমে যায় । খুঁটির উচ্চতা নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ

ধরাযাক , AB হল খুঁটির দৈর্ঘ্য । যখন সূর্যের উন্নতি কোণ 45° হলে খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য BD এবং সূর্যের উন্নতি কোণ 60° হলে খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য হয় BC , অর্থাৎ খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য CD কমে যায় ।

∴ CD = 3 মিটার 

ABC ত্রিভুজের ∠ABC=90° এবং ∠ACB =60°

এখন ABC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,

(b) 20. 5√3 মিটার উঁচু রেলওয়ে ব্রিজে দাঁড়িয়ে একব্যাক্তি প্রথমে একটি ট্রেনের ইঞ্জিনকে ব্রিজের এপারে 30° অবনতি কোণে দেখলেন । কিন্তু 2 সেকেন্ড পরই ওই ইঞ্জিনকে ব্রিজের ওপারে 45° অবনতি কোণে দেখলেন । ট্রেনটির গতিবেগ কত ?

সমাধানঃ

ধরি , ওই ব্যাক্তি XY  রেলওয়ে ওভারব্রিজের Z বিন্দুতে দাঁড়িয়ে ট্রেনের ইঞ্জিনকে প্রথমে S বিন্দুতে এবং 2 সেকেন্ড পরে E বিন্দুতে দেখলেন । অবনতি কোণ ∠BAS =30° এবং ∠CAE =45°

ZM = রেলওয়ে ওভারব্রিজের উচ্চতা = 5√3 মিটার

আবার যেহেতু XY||SE

∴ ∠ZSM = একান্তর ∠XZS = 30°

এবং ∠ZEM = একান্তর ∠YZE =45°

সমকোণী ত্রিভুজ ZSM থেকে পাই,

বা, SM = 15

সমকোণী ত্রিভুজ ZEM থেকে পাই

বা, ME =5√3

∴ SE = SM+ME =(15+5√3)=15+5´1.732 =15+8.660=23.660

∴ 2 সেকেন্ডে ট্রেনটি অতিক্রম করে 23.660 মিটার ।

14.

(a) একটি ঘনকের প্রতিটি বাহুকে 50% কমানো হল । মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত কত ?

সমাধানঃ ধরি ঘনকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য  a একক

∴ ঘনকটির ঘনফল = a³ ঘনএকক

প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 50% কমানো হলে, পরিবর্তিত ঘনকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য

পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফল

সুতরাং মূল ঘনক  এবং পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত

∴ মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের অনুপাত 8:1 ।

(b) একমুখ খোলা একটি লম্ব বৃত্তাকার পাত্রের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 2002 বর্গ সেমি. । পাত্রটির ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি. হলে , পাত্রটিতে কত লিটার জল ধরবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ একমুখ খোলা একটি লম্ব বৃত্তাকার পাত্রের ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি.

∴ ব্যাসার্ধ (r ) = 14/2 সেমি.= 7 সেমি.

ধরি, লম্ব বৃত্তাকার পাত্রের উচ্চতা = h সেমি.

একমুখ খোলা পাত্রটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

শর্তানুসারে ,

44h+154=2002

বা, 44h=2002-154

বা,44h = 1848

বা, h = 42

∴ পাত্রটির উচ্চতা 42 সেমি. ।

∴ পাত্রটির আয়তন

উত্তরঃ পাত্রটিতে জল ধরে 6.468 লিটার ।

(c) 21 ডেসিমি. দীর্ঘ , 11 ডেসিমি. প্রশস্থ এবং 6 ডেসিমি. গভীর একটি চৌবাচ্চা অর্ধেক জলপূর্ণ আছে । এখন সেই চৌবাচ্চায় যদি 21 সেমি. ব্যাসের 100 টি লোহার গোলক সম্পূর্ণ ডুবিয়ে দেওয়া হয়, তবে জলতল কতটা উপরে উঠবে তা হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ ধরি,  21 ডেসিমি. দীর্ঘ , 11 ডেসিমি. প্রশস্থ এবং 6 ডেসিমি. গভীর একটি চৌবাচ্চায় 21 সেমি. ব্যাসের 100 টি লোহার গোলক সম্পূর্ণ ডুবিয়ে দিলে  জলতল h সেমি. উঠবে ।

লোহার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 সেমি.

∴ লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ (r ) = 21/2 সেমি.= 21/20 ডেসিমি.

এখন ,  h উচ্চতার জলস্তম্ভের আয়তন =100 টি লোহার গোলকের আয়তন

∴ চৌবাচ্চার জলতল 2.1 ডেসিমি. উপরে উঠবে ।

15.

(a)  একটি প্রবেশিকা পরিক্ষায় পরীক্ষার্থীর বয়সের পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করি ।

বয়স ( বছরে )	16-18	18-20	20-22	22-24	24-26
পরীক্ষার্থীর সংখ্যা	45	75	38	22	20

সমাধান ঃপ্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মানের শ্রেণী = 18-20

সংখ্যাগুরু মান নির্ণয়ের সূত্রটি হলো

যেখানে,

 l হলো সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণীর নিম্ন শ্রেণী সীমানা ।

h = সংখ্যাগুরু মান সংবলিত শ্রেণীর শ্রেণী দৈর্ঘ্য ।

f₁ = সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণীর শ্রেণী পরিসংখ্যা ।

f₀ = সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণীর ঠিক পূর্ববর্তী শ্রেণীর পরিসংখ্যা ।

f₂ = সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণীর ঠিক পরবর্তী শ্রেণীর পরিসংখ্যা ।

(b) নীচের তথ্যের মধ্যমা নির্ণয় করি ।

শ্রেণী সীমা	1-5	6-10	11-15	16-20	21-25	26-30	31-35
পরিসংখ্যা	2	3	6	7	5	4	3

সমাধানঃ

প্রদত্ত পরিসংখ্যা  বিভাজনের ছকের শ্রেণীগুলি শ্রেণী অন্তর্ভুক্ত গথনে আছে ।

শ্রেণী বহির্ভূত পরিসংখ্যা বিভাজনের তালিকা তৈরি করি ,

শ্রেণী– সীমা	শ্রেণী –সীমানা	পরিসংখ্যা	ক্রম–যৌগিক পরিসংখ্যা ( ক্ষুদ্রতর সূচক )
1-5	0.5-5.5	2	2
6-10	5.5-10.5	3	5
11-15	10.5-15.5	6	11
16-20	15.5-20.5	7	18
21-25	20.5-25.5	5	23
26-30	25.5-30.5	4	27
31-35	30.5-35.5	3	30 = n

এখানে n = 30

∴ n/2 = 30/2 = 15

15 এর থেকে ঠিক বেশি পরিসংখ্যা বিশিষ্ট শ্রেণী টি হলো (15.5-20.5)

∴ মধ্যমা শ্রেণী টি হলো = 15.5 – 20.5

∴  মধ্যমা নির্ণয়ের সূত্র টি হলো

l = মধ্যমা শ্রেণীর নিম্ন শ্রেণী সীমানা ।

n = মোট পরিসংখ্যা ।

f = মধ্যমা শ্রেণীর পরিসংখ্যা ।

h = শ্রেণী দৈর্ঘ্য ।

cf = মধ্যমা শ্রেণীর পূর্বের শ্রেণীর পরিসংখ্যা ।

(iii) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের ক্ষুদ্রতর সুচক ওজাইভ অঙ্কন করঃ

প্রাপ্ত নম্বর	50-60	60-70	70-80	80-90	90-100
পরিসংখ্যা	4	8	12	6	10

সমাধানঃ

শ্রেণি	ক্ষুদ্রতর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
60 এর কম	4
70 এর কম	12
80 এর কম	24
90 এর কম	30
100 এর কম	40

X অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1 টি বাহুর দৈর্ঘ্য = 1 একক এবং y অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1 টি বাহুর দৈর্ঘ্য = 1 একক ধরে

(60,4) ,(70,12) , (80,24) ,(90,30) ,(100,40) বিন্দুগুলি স্থাপন করে ও যুক্ত করে ক্ষুদ্রতর সুচক ওজাইভ অঙ্কন কর ।

ধন্যবাদ । POST টি ভাল লেগে থাকলে SHARE করার অনুরোধ রইল ।

SOURCE-anushilan.com

©kamaleshforeducation.in(2023)