মাধ্যমিক ২০২০ গণিত প্রশ্ন উত্তর |মাধ্যমিক ২০২০ অঙ্ক প্রশ্নের সমাধান

Madhyamik 2020 Math Question Solution|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত সমাধান

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তর নির্বাচন করঃ

(i) কোনো মূলধন 10 বছরে দ্বিগুন হলে , বার্ষিক সরল সুদের হার –

(a) 5%

(b) 10%

(c ) 15%

(d) 20%

Ans:

সমাধানঃ ধরি , মূলধনের পরিমাণ x টাকা এবং বার্ষিক সরল সুদের হার r%

শর্তানুসারে ,

∴ বার্ষিক সরল সুদের হার 10%

(ii) x²-7x+3=0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল

(a) 7

(ii) -7

(c ) 3

(d) -3

Ans: (c ) 3

সমাধানঃ x²-7x+3=0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল

(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান , ∠AOB = 60° হলে, ∠COD এর মান কত হবে-

(a) 30°

(b) 60°

(c ) 120°

(d) 180°

Ans: (b) 60°

সমাধানঃ আমরা জানি সমান জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে ।

∴ ∠AOB=∠COD =60°

(iv) দুটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত 1:4 এবং তাদের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 4:5 হলে তাদের উচ্চতার অনুপাত-

(a) 1:5

(b) 5:4

(c ) 25:16

(d) 25:64

Ans: (d ) 25:64

সমাধানঃ ধরি , শঙ্কু দুটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r₁ একক এবং r₂ একক এবং শঙ্কু দুটির উচ্চতা যথাক্রমে h₁ একক এবং h₂ একক এবং শঙ্কু দুটির আয়তন যথাক্রমে V₁ঘন একক ও V₂ ঘন একক

∴ r₁:r₂ = 4:5

 এবং , V₁: V₂ = 1:4

∴ h₁:h₂ = 25:64

(v) যদি , sinϴ-cosϴ=0 ,(0° ≤ ϴ≤ 90°) এবং secϴ+cosecϴ =x ,হয় তাহলে x এর মান –

(a) 1

(b) 2

(c ) √2

(d) 2√2

 Ans: (d) 2√2

সমাধানঃ

sinϴ -cosϴ= 0

বা, sinϴ = cosϴ

বা, tanϴ = 1

বা, tanϴ =tan45°

বা, ϴ=45°

∴ secϴ +cosecϴ =x

বা, sec 45° +cosec 45° =x

বা, √2 + √2 =x

বা, 2√2 = x [উত্তর]

(vi) 1,3,2,8,10,8,3,2,8,8 এর সংখ্যাগুরু মান –

(a) 2

(b) 3

(c ) 8

(d) 10

Ans: (c ) 8

2. শূন্যস্থান পূরণ করঃ

(i) আনিসূর 500 টাকা 9 মাসের জন্য এবং ডেভিড 600 টাকা 5 মাসের জন্য একটি যৌথ ব্যাবসা শুরু করে । তাদের লভ্যাংশের অনুপাত হবে __________ ।

উত্তরঃ 3:2

সমাধানঃ আনিসূর 500 টাকা 9 মাসের জন্য এবং ডেভিড 600 টাকা 5 মাসের জন্য একটি যৌথ ব্যাবসা শুরু করে । তাদের লভ্যাংশের অনুপাত = তাদের মূলধনের অনুপাত = (500✕9) : (600✕5) = 4500:3000 = 3:2

(ii) ax²+2bx+c=0 (a≠0) ,দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে b² =________ হবে ।

Ans: 4ac

(iii) দুটি কোণের সমষ্টি ________ হলে তাদেরকে পরস্পরের সম্পূরক বলা হয় ।

Ans: 180°

(iv) sin3ϴ এর সর্বচ্চ মান __________ ।

Ans: 1

(v) একটি নিরেট গোলক গলিয়ে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলে গোলক ও চোঙের ________ সমান হবে ।

Ans: আয়তন 

(vi) কিছু ছাত্রের বয়স হলো (বছরে ) 10,11,9,7,13,8,14 এদের বয়সের মধ্যমা হল _____________ বছর ।

Ans:

সমাধানঃ কিছু ছাত্রের বয়স হলো (বছরে ) 10,11,9,7,13,8,14

মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই ,

7,8,9,10,11,13,14

এক্ষেত্রে n = 7(বিজোড় সংখ্যা )

∴ মধ্যমা = (n+1)/2 তম মান = (7+1)/2 তম মান = 4 তম মান =10 বছর

3. সত্য বা মিথ্যা লেখঃ

(ii) 2a =3b=4c হলে a:b:c =2:3:4

উত্তরঃ মিথ্যা

সমাধানঃ

a:b:c = 6:4:3

(iii) একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 5:12:13 হলে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে ।

উত্তরঃ সত্য ।

ধরি , ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5k একক ,12k একক এবং 13k একক ।

এখন , (13k)² =169k² = 144k² +25k² = (12k)² +(5k)²

∴ (13k)² =(12k)² +(5k)²  

∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ ।

(iv) একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে , রশ্মিটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরার জন্য উৎপন্ন কোণটি ধনাত্মক হবে ।

উত্তরঃ সত্য

(vi) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুন করা হলে শঙ্কুর আয়তন একই থাকে ।

উত্তরঃ মিথ্যা ।

ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক ।

4.

(i) কোনো আসল ও তার 5 বছরের সবৃদ্ধি মূলের অনুপাত 5:6 হলে , বার্ষিক সরল সুদের হার নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ ধরি , আসলের পরিমাণ P টাকা এবং বার্ষিক সরল সুদের হার r%

∴ বার্ষিক সরল সুদের হার 4%

(ii) A ও B কোনো ব্যাবসায় 1050 টাকা লাভ করে । A এর মূলধন 900 টাকা এবং লভ্যাংশ 630 টাকা হলে B এর মূলধন কত ?

সমাধানঃ  ধরি , B এর মূলধন x টাকা ।

∴ A ও B এর মূলধনের অনুপাত 900:x

শর্তানুসারে ,

∴ B এর মূলধন 600 টাকা ।

(iii) x ∝ y, y ∝ z এবং z ∝ x হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুনফল নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ     x ∝ y

∴ x = k₁y [ k₁ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]—-(i)

এবং , y ∝ z

∴ y = k₂z [k₂ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]—-(ii)

আবার , z ∝ x

∴ z = k₃x [ k₃ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]—-(iii)

(i),(ii) ও (iii) নং সমীকরণকে গুন করে পাই ,

xyz = k₁k₂k₃xyz

বা, k₁k₂k₃ = xyz/xyz

বা, k₁k₂k₃ = 1

∴ ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল 1 [ এটাই ভেদধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক ]

(iv) ABCD আয়তকার চিত্রের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OB=6সেমি., OD= 8 সেমি. এবং OA=5 সেমি. । OC এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ

ABCD আয়তকার চিত্রের অভ্যন্তরে O একটি বিন্দু হলে , OA²+OC² = OB²+OD²হয় ।

∴ OA²+OC² = OB²+OD²

বা, (5)²+OC² = (6)²+(8)²

বা, 25+OC² = 36+64

বা, OC² = 100-25

বা, OC² = 75

বা, OC² = (5√3)²

বা, OC = 5√3

∴ OC এর দৈর্ঘ্য 5√3 সেমি. ।

(vi) ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC =90° AB=3সেমি. এবং BC=4 সেমি. এবং B বিন্দু থেকে AC বাহুর উপর লম্ব BD যা AC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয় । BD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ

ABC ত্রিভুজের ∠ABC = 90° এবং সমকৌণিক বিন্দু B থেকে অতিভুজ AC এর উপর BD লম্ব । । যেহেতু সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের উভয়পার্শ্বে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ ।

∴ ∆BDC এবং ∆ADB পরস্পর সদৃশ ।                                                                             

∴ BD এর দৈর্ঘ্য 2 পূর্ণ 2/5 সেমি. ।

(vii) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 8সেমি. ও 3 সেমি. । তাদের কেন্দ্র দ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 13 সেমি. । বৃত্ত দুটির সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 8সেমি. ও 3 সেমি. । তাদের কেন্দ্র দ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 13 সেমি.

∴ r₁ = 8 সেমি. এবং r₂ = 3সেমি. এবং d =13সেমি.

(viii) একটি ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা 1 ঘণ্টায় যে কোণ আবর্তন করে তার বৃত্তীয় মান নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ একটি ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা 12 ঘণ্টায় আবর্তন করে 360°

যেহেতু ঘড়ির কাঁটা ঘুরলে ঋণাত্মক কোণ উৎপন্ন করে

1 ঘণ্টায় ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা যে কোণ উৎপন্ন করে তার বৃত্তীয় মান -π /6

(ix) tan4ϴ tan6ϴ =1 এবং 6ϴ  ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে , ϴ -এর মান নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ

tan4ϴ tan6ϴ  = 1

বা, tan4ϴ  = 1/ tan6ϴ 

বা, tan4ϴ  = cot6ϴ 

বা, tan4ϴ  = tan(90°-6ϴ )

বা, 4ϴ  =90°-6ϴ 

বা, 10ϴ  =90°

বা, ϴ  = 90°/10 = 9°

∴ ϴ  =9°

(x) কোনো লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর  উচ্চতা 12 সেমি এবং আয়তন 100π ঘন সেমি.। শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ ধরি , শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r সেমি.

শঙ্কুর উচ্চতা (h ) = 12 সেমি.

শঙ্কুর আয়তন = 100 π ঘন সেমি.

ধরি, শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r সেমি.

শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা l হলে ,

l²=h²+r²

বা, l² = (12)²+(5)²

বা, l² = 144+25

বা, l² = 169

বা, l²=(13)²

বা, l = 13

∴ শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 13 সেমি. ।

(xi)দুটি গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1:4 হলে , তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ  দুটি গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1:4 ।

ধরি , গোলকটির ব্যাসার্ধ r ₁ একক এবং r₂  একক ।

∴ 4π r₁² : 4π r₂² = 1:4

5.

(i) তোমার কাকার কারখানার একটি মেশিনের মূল্য প্রতি বছর 10 % হারে হ্রাস প্রাপ্ত হয় । মেশিনটির মূল্য 6000 টাকা হলে 3 বছর পরে ওই মেশিনের মূল্য কত হবে ?

সমাধানঃ মেশিনের বর্তমান মূল্য (P ) = 6000 টাকা ।

মেশিনের মূল্য হ্রাসের হার (r) = 10%

সময় (n) = 3 বছর

ধরাযাক , মেশিনটির 3 বছর পর মূল্য হবে A টাকা

∴ মেশিনটির মূল্য 3 বছর পর হবে 4374 টাকা ।

(ii) তিন বন্ধু যথাক্রমে 1,20,000 টাকা , 1,50,000 টাকা ও 1,10,000 টাকা মূলধন নিয়ে একটি বাস ক্রয় করেন । প্রথমজন ড্রাইভার ও বাকি দুজন কন্ডাক্টরের কাজ করেন । তারা ঠিক করেন যে মোট আয়ের 2/5 অংশ তারা কাজের জন্য 3:2:2 অনুপাতে ভাগ করবেন এবং বাকি টাকা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেবেন । কোনো একমাসে যদি 29260 টাকা আয় হয় , তবে কে কত টাকা পাবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ তিন বন্ধুর মূলধনের পরিমানের অনুপাত

= 1,20,000:1,50,000:1,10,000

= 12:15:11

তাদের মাসিক আয় = 29260 টাকা

এই লাভের 2/5 অংশ তারা নিজেদের মধ্যে 3:2:2 অনুপাতে ভাগ করে এবং বাকি অংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ করেন ।

লাভের 2/5 অংশ = 2/5 ✕ 29260 টাকা = 11704 টাকা

এখন এই টাকা থেকে

লাভের বাকি অংশ = (29260 – 11704) টাকা = 17556 টাকা

এই টাকা তারা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করবেন

∴ ড্রাইভার মোট পাবে = (5016+5544) টাকা = 10560 টাকা

প্রথম কন্ডাক্টর মোট পাবে = (3344+6930) টাকা = 10274 টাকা

দ্বিতীয় কন্ডাক্টর মোট  পাবে = (3344+5082 ) টাকা = 8426 টাকা

Madhyamik 2020 Math Question Solution

6.

সমাধানঃ

বা, (x-3)(x+5) = 48

বা, x²-3x+5x-15-48 = 0

বা, x² +2x -63 =0

বা, x² –( 9-7)x-63=0

বা, x² -9x +7x -63=0

বা, x(x-9) +7(x-9) =0

বা, (x-9)(x+7) =0

দুটি রাশির গুনফল শূন্য

∴ (x-9)=0

বা, x =9

এবং (x+7) =0

বা, x = -7

∴ নির্ণেয় সমাধান 9 এবং -7

(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুনফল 143 হলে সমীকরণটি গঠন করে এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে সংখ্যা দুটি নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ ধরি, দুটি ক্রমিক অযুগ্ম সংখ্যা হল x এবং x+2

শর্তানুসারে ,

X(x+2) = 143

বা, x² +2x -143 = 0

সমীকরণটিকে ax² +bx+c =0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,

a = 1 ,b = 2 এবং c = -143

∴ b²-4ac = (2)² -4(1)(-143) =4+ 572 = 576 >0

∴ সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ।

শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই ,

∴ x = 11 এবং x =13

∴ সংখ্যা দুটি হল 11 এবং 11+2 =13

 

7.

সমাধানঃ x=2+√3

এবং (x+y) =4

∴ y = 4-x

বা, y = 4-(2+√3)

বা, y = (2-√3)

∴ xy = (2+√3)(2-√3) =(2)² –(√3)² = 4-3 =1

= 1+1

= 2

(ii) a∝ b এবং  b∝c হলে ,প্রমাণ কর যে , a³+b³+c³ ∝ 3abc

সমাধানঃ

A ∝ b

∴ a = pb [যেখানে p একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

আবার , b ∝ c

∴ b = qc [যেখানে q একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

∴ a = pb =p(qc) =pqc = rc [ যেখানে pq = r = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

= ধ্রুবক

∴ a³+b³+c³ ∝ 3abc [প্রমাণিত ]

8

(i) X:a =y:b =z:c হলে দেখাও যে

সমাধানঃ

ধরি , X:a =y:b =z:c =k [ k(≠0) একটি সমানুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ x= ak , y = bk এবং z = ck

বামপক্ষঃ

ডানপক্ষঃ

= 3k³

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]

Madhyamik 2020 Math Question Solution

Madhyamik 2020 Math Question Solution|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত প্রশ্ন উত্তর

9.

(i) প্রমাণ কর যে একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মাণ সমান ।

পাঠ্য বইয়ের (গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণী) উপপাদ্য 35 দেখ ।

(ii) প্রমাণ কর , বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় তাদের স্পর্শবিন্দু দুটির সঙ্গে বহিঃস্থ বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ  দৈর্ঘ্য দুটির সমান ।

পাঠ্য বইয়ের (গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণী) উপপাদ্য 41 দেখ ।

Madhyamik 2020 Math Question Solution|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত প্রশ্ন উত্তর

10.

(i)দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে । PA ও PB যথাক্রমে দুটি বৃত্তের ব্যাস হলে , প্রমান কর A ,Q ও B বিন্দুত্রয় সমরেখ ।

দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে , PA ও PB যথাক্রমে দুটি বৃত্তের ব্যাস প্রমান করেতে হবে যে A , Q ও B বিন্দুত্রয় সমরেখ ।

অঙ্কনঃ P ,Q যুক্ত করা হল ।

প্রমানঃ APQ ত্রিভুজে , AP ব্যাস ।

∴ ∠AQP = 90° [ যেহেতু অর্ধবৃত্তস্থ কোণ 1 সমকোণ ]

আবার , ∆BQP ত্রিভুজে , PB ব্যাস

∴ ∠PQB = 90° [ যেহেতু অর্ধবৃত্তস্থ কোণ 1 সমকোণ ]

এখন , ∠AQB

=∠AQP+∠PQB

=90°+90°

=180°

∴ A ,Q ও B একই সরলরেখায় অবস্থিত ।

∴ A ,Q ও B সমরেখ ।

Madhyamik 2020 Math Question Solution|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত প্রশ্ন উত্তর

প্রমাণঃ ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠BAC সমকোণ এবং সমকৌণিক বিন্দু A থেকে BC এর উপর AD লম্ব । যেহেতু সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের উভয়পার্শ্বে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ এবং প্রত্যেকটি ত্রিভুজ মূল ত্রিভুজের সাথে সদৃশ ।

∴ ∆ABC এবং ∆DAC পরস্পর সদৃশ

মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

11.

 (i) 4 সেমি. ও 3 সেমি. দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশ  দুটির মধ্য সমানুপাতী অঙ্কন কর ।

সমাধানঃ

∴ নির্ণেয় মধ্যসমানুপাতীটি হল PM যার দৈর্ঘ্য 3.5সেমি. ।

Madhyamik 2020 Math Question Solution|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত প্রশ্ন উত্তর

(ii) 3 সেমি ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত অঙ্কন কর । বৃত্তের উপর A বিন্দুতে স্পর্শক অঙ্কন কর ।

∴ A বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটি হল PQ

Madhyamik 2020 Math Question Solution|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত প্রশ্ন উত্তর

12.

সমাধানঃ

(ii) দুটি কোণের সমষ্টি 135° এবং তাদের অন্তর π/12 হলে , কোণ দুটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান লিখি ।

সমাধানঃ  ধরি  , কোণ দুটি হল A এবং B

∴ A+B = 135° —–(i)

এবং A-B = π/12

বা, A-B = 15° —(ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,

A+B +A-B = 135°+15°

বা, 2A = 150°

বা, A = 150°/2

বা, A = 75°

A এর প্রাপ্ত মান (i) নং সমীকরনে বসিয়ে পাই ,

75°+B = 135°

বা, B = 135°-75°

বা, B = 60°

∴ Aও B কোণের ষষ্টিক মান যথাক্রমে 75° এবং 60°

Madhyamik 2020 Math Question Solution

(iii) মান নির্ণয় করঃ

13.

সমাধানঃ

ধরাযাক , PQ হ্রদের A বিন্দু থেকে h উচ্চতায় B বিন্দু থেকে c বিন্দুতে অবস্থিত মেঘের উন্নতি কোণ α আবার B বিন্দু থেকে মেঘের প্রতিবিম্বের অবনতি কোণ β ।

∴ ∠CBE =α এবং ∠EBD = β

B বিন্দু থেকে PQ এর সমান্তরাল সরলরেখা টানা হল যা CD বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে ।

BEC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,

∴ BE tanα =CE —(i)

আবার সমকোণী ত্রিভুজ BED থেকে পাই ,

বা, DE = BE tanβ

বা, DF+FE = BE tanβ

বা, CF+AB = BE tan β [ যেহেতু হ্রদ থেকে মেঘের দূরত্ব এবং হ্রদ থেকে প্রতিবিম্বের দূরত্ব সমান ∴ CF=FD  এবং AB = EF =h মিটার । ]

বা, CE+EF+AB = BE tanβ

বা, CE +h+h =BE tanβ

বা, CE+2h = BEtanβ

বা, BEtanα +2h = BEtanβ

বা, 2h = BEtanβ-BEtana

বা, 2h = BE(tanβ-tanα)

Madhyamik 2020 Math Question Solution 

 

(ii) দুটি স্তম্ভের উচ্চতা যথাক্রমে 180 মিটারও 60 মিটার।দ্বিতীয় স্তম্ভটির গোড়া থেকে প্রথম চূড়ার উন্নতি কোণ 60°হলে ,প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীয় চূড়ার উন্নতি কোণ নির্ণয় কর ।

Madhyamik 2020 Math Question Solution|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত প্রশ্ন উত্তর

14. (i) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি নলের বহির্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং অন্তর্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 4 সেমি. । নলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 1188 বর্গসেমি হলে ,নলটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ ধরি , নলটির দৈর্ঘ্য h সেমি. ।

নলটির বহির্ব্যাসার্ধ (R ) = 5 সেমি.

নলটির অন্তর্ব্যাসার্ধ (r) = 4 সেমি.

নলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

= {2πRh+2πrh+π(R²-r²)h } বর্গসেমি.

শর্তানুসারে ,

বা, 396h+396 =8316

বা, 396h = 8316-396

বা, 396h = 7920

∴ নলটির দৈর্ঘ্য 20 সেমি. ।

Madhyamik 2020 Math Question Solution|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত প্রশ্ন উত্তর

(ii) 9 সেমি. অন্তর্ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি অর্ধ গোলাকার পাত্র সম্পূর্ণ জলপূর্ণ আছে । এই জল 3 সেমি. ব্যাস এবং 4 সেমি. উচ্চতা বিশিষ্ট চোঙাকৃতি বোতলে ভর্তি করে রাখা হবে । পাত্রটি খালি করতে কতগুলি এইরূপ বোতল দরকার তা নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ অর্ধ গোলকের ব্যাসার্ধ (R ) = 9 সেমি.

∴ অর্ধ গোলাকৃতি পাত্রের আয়তন

চোঙাকৃতি বোতলের ব্যাস 3 সেমি. । 

∴ বোতলের ব্যাসার্ধ (r ) = 3/2 সেমি.

বোতলের উচ্চতা (h) = 4 সেমি.

∴ চোঙাকৃতি বোতলের আয়তন

= πr²h ঘন সেমি.

ধরি , পাত্রটি খালি করতে x টি বোতলের প্রয়োজন হবে ।

∴পাত্রের পাত্রের জলের আয়তন = x টি বোতলের জলের আয়তন

বা, 486 = 9x

বা, x = 486/9

বা, x = 54

∴ পাত্রটি খালি করতে 54 টি বোতলের প্রয়োজন হবে ।

Madhyamik 2020 Math Question Solution|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত প্রশ্ন উত্তর

(iii)একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 21 মিটার এবং উচ্চতা 14 মিটার । প্রতিও বর্গ মিটার 1.50 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রঙ করতে কত খরচ পড়বে ?

সমাধানঃ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাস 21 মিটার

∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ (r ) = 21/2 সেমি.

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা (h) = 14 মিটার ।

ধরি , লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা l সেমি.

∴ l² = h²+r² 

∴ শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল

15.

(i) ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয় কর যদি তাদের প্রাপ্ত নম্বরের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা নিম্নরূপ হয়

নম্বর	ছাত্রী সংখ্যা
10 এর কম	6
20 এর কম	10
30 এর কম	18
40 এর কম	30
50 এর কম	46

সমাধানঃ এখানে দেখা যাচ্ছে যে 6 জন 10 এর কম পেয়েছে , অর্থাৎ 0-10 এর মধ্যে পেয়েছে 6 জন । আবার 10 জন 20 এর কম পেয়েছে, সুতরাং 10-20 এর মধ্যে পেয়েছে (10-6) জন = 4 জন । এভাবে পরিসংখ্যা তালিকাটি তৈরি করলে তা হবে

নম্বর	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
ছাত্রী সংখ্যা	6	4	89	12	16

এক্ষেত্রে a = 25 এবং h = 10 ধরে পাই ,

শ্রেণী সীমানা	পরিসংখ্যা (fi)	শ্রেণী মধ্যক (xi)	ui = (xi-a)/10	fiui
0-10	6	5	-2	-12
10-20	4	15	-1	-4
20-30	8	25 = a	0	0
30-40	12	35	1	12
40-50	16	45	2	32
মোট	∑fi = 46			∑fiui =28

ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড়

(ii) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন থেকে তথ্যটির মধ্যমা নির্ণয় করি ।

শ্রেণী সীমানা	পরিসংখ্যা
0-10	4
10-20	7
20-30	10
30-40	15
40-50	10
50-60	8
60-70	5

সমাধানঃ

পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকাটি হল

শ্রেণি সীমানা	পরিসংখ্যা	ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (ক্ষুদ্রতর সূচক )
0-10	4	4
10-20	7	11
20-30	10	21
30-40	15	36
40-50	10	46
50-60	8	54
60-70	5	59 = n

এখানে n = 59

∴ n/2 = 59/2 =29.5

29.5 এর থেকে ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (30-40) শ্রেণীর মধ্যে আছে ।

সুতরাং মধ্যমা শ্রেণীটি হল (30-40)

∴ নির্ণেয় মধ্যামা

(iii) নীচের শ্রেণী –বিন্যাসিত পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় কর ।

শ্রেণী	পরিসংখ্যা
1-6	2
6-9	6
9-12	12
12-15	24
15-18	21
18-21	12
21-24	3

সমাধানঃ

উপরের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখাগুরুমান  শ্রেণীটি হল 12-15 ।

∴ নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান

= 12 +4

= 16 [উত্তর ]

 

ধন্যবাদ । যদি আপনাদের এই POST টি ভালো লাগে তাহলে SHARE করার অনুরোধ রইল । এই রকম আরও সুন্দর সুন্দর POST পাওয়ার জন্য আমাদের website টি LIKE করুন।

source-Anushilan.com

©kamaleshforeducation.in(2023)